3.8.Inecuaciones

Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

      - no es igual

 <    - menor que

 >    - mayor que 

     - menor o igual que 

     - mayor o igual que 

Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. 

EJEMPLO 1 

                x + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor) 

Ej.  3 < 4,       4 > 3 

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. 

EJEMPLO 2

                        1 < 6 

                1 + 5 < 6 + 5

¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta. 

EJEMPLO 3

                    2 < 6 

                2 + -9 < 6 + -9

Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo. 

EJEMPLO 4 CON RESTA 

                7 > 4 

            7 - 3 > 4 - 3

La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo. 

EJEMPLO 5

Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:

            2 < 8 

        2 - (-3) < 8 - (-3)     Restar un número es igual que sumar su opuesto.

        2 + 3    <  8 + 3

                5   < 11

La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados.

  

3.7.Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). 

EJEMPLOS:

1. ¿ Es 6 una solución para la ecuación      3x - 1 = 2x +5?
           3x -1   = 2x + 5
          3(6)-1  = 2(6) + 5    <Se sustituyó el x por el 6>
          18 - 1  = 12 + 5       <Se resuelve en ambos lados>
                17 = 17


 2. ¿Es 3 la solución de la ecuación             3x + 1 = 2x + 3 ?
          3x + 1    = 2x + 3
          3(3) + 1 = 2(3) + 3
          9 + 1     = 6 + 3
                  10 = 9                              < 3 no es la solución >
 
3.        x - 3  = 9 
           x + -3 = 9
     x + -3 +3 = 9 + 3              <añadir 3 elimina la resta y
            x + 0 = 12                     mueve todo excepto la variable x
              x = 12                            del lado izquierdo>

Recuerda que restar un número es igual que sumar su opuesto:
            6 - 7 = 6 + -7
            x - 3 = x + -3

        
4.          x - 6 = 2
            x + -6 = 2
      x  + -6 + 6 = 2 + 6
             x + 0 = 8
                 x = 8
 

5.            4x = 16
               4x = 16             <Utilizar la regla de la mult. para dividir
                  4      4                 ambos por 4>
                  x = 4

4. x   = 5
     2
            
(2) x = 5(2)            <Multiplica ambos lados por dos>
      2

(2) x = 5(2)             <al multiplicar el lado de la x se elimina el 2
   2                           con el 2 y queda la x sola>

     
     x = 10 

3.6.Valor absoluto

En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo.

EJEMPLO 1

3 es el valor absoluto de +3 y de -3.

El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente. Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o expresión dentro de barras verticales, así:

|20|

|x|

|4n − 9|

Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo. 

EJEMPLO 2

El valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5.

EJEMPLO 3 

El valor absoluto de 8 es 8. El valor absoluto de -8 es también 8.

EJEMPLO 4

El valor absoluto de 2 es 2. El valor absoluto de -2 es tambien 2.

EJEMPLO 5

El valor absoluto de 15 es 15. El valor absoluto de -15 es tambien 15

3.5.Razones y proporciones

Razón

Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son  a y b, la razón entre ellas se escribe como:

Proporcion

Una proporción es la igualdad de dos razones.

Una proporción es la igualdad de dos razones.

La proporción indica mediante una igualdad la comparación de dos razones. Para escribir una proporción, debemos tener en cuenta que los valores antecedentes, siempre estén del mismo lado, al igual que los consecuentes.

En nuestro ejemplo del salón de clases, podemos comparar la razón que tenemos, de 4 niñas por cada 3 niños, y podremos calcular cuántos niños hay en un salón en relación al número de niñas o viceversa. Para esto, en primer lugar escribiremos la proporción que ya conocemos:

4:3

Después, un signo de igualdad

4:3=

Y después la cantidad total, por ejemplo la del mismo salón, recordando que debemos respetar el orden del antecedente y del consecuente. En nuestro ejemplo, el antecedente será el número de niñas, y el consecuente el número de niños.

4:3=24:18

Para comprobar la igualdad de la proporción, se efectúan dos multiplicaciones. En una proporción, tomaremos como referencia el signo de igualdad. Los números que están más cercanos, se llaman centros, y los números más lejanos son los extremos. En nuestro ejemplo, los números 3 y 24 son los más cercanos al signo igual, por lo que son los centros. El 4 y el 18, son los extremos. Para comprobar que la proporción es correcta, el producto de la multiplicación de los centros debe ser igual al producto de la multiplicación de los extremos:

3 X 24 = 72

4 X 18 = 72

Proporción directa y proporción inversa: Las proporciones pueden expresar relaciones en que el aumento de la cantidad del antecedente aumenta la cantidad del consecuente. A esta variación se le llama proporción directa. El ejemplo anterior es una proporción directa.

En una proporción inversa, el aumento de la cantidad en el antecedente, significa la disminución de la cantidad en el consecuente.

EJEMPLO

En una mueblería, 6 trabajadores hacen 8 sillones en 4 días. Si queremos saber cuántos trabajadores se necesitan para construir los 8 sillones en 1, 2 y 3 días, usaremos una proporción inversa.

Para determinarla, usaremos el número de trabajadores como cifra antecedente, y el número de días como cifra consecuente:

6:4=

Siguiendo el mismo orden, del otro lado de la igualdad tendremos como antecedente nuevamente el número de trabajadores, y como consecuente los días que tardarán. Tendremos algo como lo siguiente:

6:4 = ?:3

6:4 = ?:2

6:4 = ?:1

Para determinar la proporción inversa, multiplicaremos los factores de la razón conocida, en nuestro ejemplo, 6 y 4, y el resultado lo dividiremos entre el dato conocido de la segunda razón. Así, en nuestro ejemplo, tendremos:

6 X 4 = 24

24 / 3 = 8

24 / 2 = 12

24 / 1 = 24

Así tendremos las proporciones siguientes:

6:4 = 8:3

6:4 = 12:2

6:4 = 24:1

Con lo que podemos calcular que para producir los 8 sillones en tres días, necesitamos 8 trabajadores; para fabricarlos en dos días, necesitamos 12 trabajadores, y para hacerlos en 1 día, necesitamos 24 trabajadores.

EJEMPLO DE RAZONES Y PROPORCIONES 

si en un salón de clases tenemos 24 niñas y 18 niños, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas:

24/18

24:18

Y como la fracción podemos simplificarla al dividirla entre 6, entonces tendremos:

4/3

4:3

Y se lee que existe una razón de 4 a 3, o de 4 por cada 3.

Cada uno de los valores de una razón tiene un nombre. El valor que está del lado izquierdo de la relación, se le llama antecedente, y al valor del lado derecho se le llama consecuente.

En este caso, la relación de niñas respecto a los niños es una relación de 4 a 3, o de 4 niñas por cada 3 niños.

Ejemplos de razones:

En una caja tenemos 45 canicas azules y 105 canicas rojas. La expresamos como 45:105 y dividiendo entre 15, tenemos que la razón es de 3:7 (tres por cada siete), o sea, tres canicas azules por cada siete canicas rojas.

En una clase de un colegio cada  pelota es utilizada por cada equipo de cinco niños, o sea que tenemos cinco alumnos por cada pelota de fútbol. Tenemos entonces en este ejemplo de razón que la relación entre alumnos – pelotas es 5 a 1. Esta razón se escribe 5:1 y concluimos que existe una razón de cinco alumnos por cada pelota de fútbol.

En un estacionamiento hay coches de fábricas asiáticas y de fábricas americanas. En total hay 3060 coches, de los cuales, 1740 son de fabricación asiática y el resto, 1320, son de fabricación americana. Esto nos dará que la razón es de 1740/1320. Para simplificarla, la dividimos primero entre 10, lo que nos deja 174/132. Si ahora lo dividimos entre 6, tendremos la razón 29:22, o sea que en el estacionamiento hay 29 automóviles asiáticos por cada 22 automóviles americanos.

Ejemplos de proporciones:

Proporción directa:

En una tienda se venden dulces nacionales e importados, a razón de 3:2 Si sabemos que al día se vende 255 dulces nacionales, ¿Cuántos dulces importados se venden al día?

3:2=256:?

2 X 255 = 510

510 / 3 = 170 dulces importados.

3:2 = 256:170 (tres es a dos como 256 es a 170).

En una fiesta se invitaron a niños y niñas. Si sabemos que acudieron en una proporción de  6 niñas por cada 4 niños, y en la fiesta hay 32 niños ¿Cuántas niñas fueron?

6:4 = ?:32

32 X 6 = 192

192 / 4 = 48 niñas fueron a la fiesta.

6:4 = 48:32 (6 es a 4 como 48 es a 32)

Para armar una mesa, se necesitan 14 tornillos. ¿Cuántos tornillos necesitamos para armar 9 mesas?

14:1 = ?:9

14 X 9 = 126

126 / 1 = 126 tornillos son necesarios.

14:1 = 126:9 (14 es a 1 como 126 es a 9)

Proporción inversa:

Dos grúas mueven 50 contenedores en hora y media. ¿Cuántas grúas se necesitan para mover los 50 contenedores en media hora?

2:1.5 =?:.5

2 X 1.5 = 3

3 / .5 = 6 grúas son necesarias.

2:1.5 = 6:.5 (dos grúas es a una hora y media, como seis grúas son a media hora)

Si 4 alumnos realizan un trabajo en equipo en 45 minutos ¿Cuánto tiempo tardarán si el equipo está formado por 6, 8, 10 y 12 estudiantes?

Tendremos las siguientes proporciones:

a)      4:45 = 6:?

b)      4:45 = 8:?

c)      4:45 = 10:?

d)     4:45 = 12:?

4 X 45 = 180

a)      180 / 6 = 30 minutos

b)      180 / 8 = 22.5 minutos

c)      180 / 10 = 18 minutos

d)     180 / 12 = 15 minutos

Por lo que las proporciones serán:

a)      4:45 = 6:30

b)      4:45 = 8:22.5

c)      4:45 = 10:18

d)     4:45 = 12:15

3.4 Expresiones algebraicas

EXPRESIONES ALGEBRAICAS COMUNES

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2

Un tercio de un número: x/3

Un cuarto de un número: x/4

Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Un número par: 2x

Un número impar: 2x + 1

Dos números consecutivos: x y x + 1

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

La suma de dos números es 24: x y 24 − x

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x

El producto de dos números es 24: x y 24/x

El cociente de dos números es 24: x y 24 · x

Una expresión algebraica es una expresión matemática en la que se combinan números y letras.

3a + 2

Los números se denominan “coeficiente” y las letras “parte literal”.

La letra “a” representa una incógnita, es decir una variable de la que desconocemos su valor y que hay que calcular. El número que acompaña a la letra la va multiplicando.

3a = 3 x a

EJEMPLO 1:

Pedro tiene el doble de años que Juan. ¿Qué edad tiene Pedro?

Edad de Pedro = 2a

La “a” representa la edad de Juan; es una incógnita ya que por el momento desconocemos su valor.

El coeficiente 2 quiere decir que Pedro tiene el doble de edad que Juan.

Si alguien nos dice la edad de Juan, por ejemplo 7 años, sabremos el valor de la “a”.

a = 7 años

Luego ya podemos calcular la edad de Pedro.

Edad de Pedro = 2a = 2 x 7 = 14 años

La expresión algebraica puede tener varios sumandos. Cada sumando se denomina término.

3a + 5b + 3c – 7a

“3a” es un término, “5b” es otro término…

Cuando llego a conocer los valores de las letras (incógnitas) la expresión algebraica se transforma en una expresión numérica.

EJEMPLO 2: si en el ejemplo anterior el valor de las letras fuera:

a = 3 

b = 2

c = 5

La expresión algebraica se transformaría:

3a + 5b + 3c – 7a = (3 x 3) + (5 x 2) + (3 x 5) – (7 x 3) = 13

A.- Monomios

Cuando una expresión algebraica tan sólo tiene un término se denomina monomio.

3b

Dos monomios que tienen la misma parte literal se dice que son semejantes:

EJEMPLO 3: En el jardín hay dos piedras, la primera pesa el doble que un ladrillo, y la segunda el triple.

Peso de la primera piedra: 2a 

Peso de la segunda piedra: 3a

Ambos monomios, 2a y 3a, tiene la misma parte literal, la letra “a” (que representa el peso del ladrillo), luego ambos monomios son semejantes.

B.- Suma y resta de monomios

Si son monomios semejantes se mantiene la parte literal y se suman (restan) sus coeficientes:

EJEMPLO 4:

3a + 4a = 7a

8a - 5a = 3a

Si los monomios no son semejantes no se pueden agrupar sus términos.

5a + 3b

9a – 8c

C.- Multiplicación y división de un monomio por un número

Se multiplica (o divide) el coeficiente por el número y se mantiene la parte literal.

EJEMPLO 5:

4a x 2 = 8a

6a : 3 = 2a

3.3.Relación de orden

RELACIONES DE ORDEN
Decimos que una relación binaria es de orden cuando cumple las propiedades reflexivas, anti simétrica y transitiva. Cuando además cumple la propiedad conexa, diremos que el conjunto está totalmente ordenado, en caso contrario diremos que el conjunto está parcialmente ordenado.
Por medio de una relación de orden podemos establecer una ordenación de un conjunto a partir de un criterio. Aunque este criterio no tiene por qué ser único. Puede que existan formas diferentes para ordenar el conjunto.

EJEMPLOS:

Ejemplo 1.

Sea "⊂ " la relación de inclusión en P(A). Esta relación es un orden parcial en P(A). Por lo tanto (P(A), ⊂ ) es un conjunto parcialmente ordenado.
 

Ejemplo 2.

Sea Z + el conjunto de todos los enteros positivos. La relación "≤ " es un orden parcial en Z + , como lo es también "≥ ". Luego (Z + , ≤ ) es un conjunto parcialmente ordenado.

Ejemplo 3.

La relación de divisibilidad (b R a ⇔ b∉ a) que se lee, b es divisor de a, es un orden parcial en Z + .

Ejemplo 4.

La relación "< " en Z + no es un orden parcial porque no es reflexiva. 

Las ordenes parciales mas comunes son las relaciones ≥ y ≤ en Z y N . Por esta razón cuando se habla en general de un orden parcial R en un conjunto A, a menudo se usan los símbolos ≥ o ≤ para R. Siempre que (A, ≤ ) sea un conjunto parcialmente ordenado se usará el símbolo ≥ para indicar el orden inverso de ≤ de modo que (A, ≥ ) será el conjunto parcialmente ordenado dual. 

  Si (A, ≤ ) es un conjunto parcialmente ordenado, a los elementos a y b de A y B se les llama comparables si a ≤ b o b ≤ a. 

  Cuando un conjunto está parcialmente ordenado, no es necesario que todo par de elementos sean comparables. 

  Obsérvese que en el ejemplo 3, los elementos 2 y 7 no son comparables puesto que ni 2 divide a 7 ni 7 divide a 2. Por tanto la palabra parcial en estos conjuntos, significa que algunos elementos podrán no ser comparables. Si cada par de elementos en un conjunto parcialmente ordenado son comparables, se dice que el conjunto es totalmente ordenado. También se dice que el conjunto es una cadena.

Ejemplo 5.

El conjunto parcialmente ordenado del ejemplo 2 está totalmente ordenado 

3.2.Operaciones entre números reales

Adición

En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.

a + b = b + a

al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:

a+(−b)=(−b)+a $$=-b+a$$

$$\mathrm{<br>}$$

EJEMPLOS 

1.podemos tomar los dos sumandos, 7 y -11. El orden de estos, al sumarlos, no va a alterar el resultado, ya que se trata al sumando como un termino en su valor absoluto. Pero si se lo tomara por su valor relativo, no se podria sumar 7 + 11 o 11 + 7 y esperar el mismo resultado que:

7+(−11)=−11+7=−4
En este caso, el resultado es negativo, ya que el sumando con valor negativo es mayor que el término con valor positivo.

Sustracción

A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.

a−b≠b−aa−b≠b−a

Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de signos:

Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.

Ejemplo 1

27,8 – 12,1 = 15,7

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.

Ejemplo 2

12,1 – 27,8 = –15,7

• Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.

Ejemplo 3

–21,8 – 12,1 = –33,9

• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.

Ejemplo 4

27,8 – 12,1 = 27,8 + (–12,1) = 15,7

• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.

Ejemplo 5

27,8 – (–12,1) = 27,8 + 12,1 = 33,9 –27,8 – (–12,1) = –27,8 + 12,1 = 12,1 – 27,8 = –15,7

Multiplicación

En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.

Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.

a×b=c$$a\times b=c$$

Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:

+⋅+=+

$$$$

$$$$+⋅−=−

$$$$

$$$$−⋅+=−

$$$$

$$$$−⋅−=+

$$$$

Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.

−a×−b=c$$-a\times -b=c$$

Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.

a×−b=−c$$a\times -b=-c$$

−a×b=−c$$-a\times b=-c$$

Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.

a×−b×−c=d$$a\times -b\times -c=d$$

a×−b×c=−d$$a\times -b\times c=-d$$

Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.

a×1=a$$a\times 1=a$$

Si se multiplica por cero, el resultado será cero.

a×0=0$$a\times 0=0$$
$$\mathrm{<br>}$$ EJEMPLO:

Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos.

División

En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.

a−b=−ab=−ab$$\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}$$

Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.

EJEMPLOS 
.

Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.

Potenciación:

La potenciación tiene varias reglas como:

a0=1$$a^0=1$$

a1=a$$a^1=a$$

Multiplicación y división de potencias con la misma base.

am×an=am+n$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$

am÷an=am−n$$a^m÷a^n=a^{m-n}$$

Potencia de potencia.

(am)n=am×n$$(a^m{)}^n=a^{m\times n}$$

Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente.

an×bn=(a×b)n$$a^n\times b^n=(a\times b{)}^n$$

an÷bn=(a÷b)n