3.2.Operaciones entre números reales

Adición

En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.

a + b = b + a

al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:

a+(−b)=(−b)+a $$=-b+a$$

$$\mathrm{<br>}$$

EJEMPLOS 

1.podemos tomar los dos sumandos, 7 y -11. El orden de estos, al sumarlos, no va a alterar el resultado, ya que se trata al sumando como un termino en su valor absoluto. Pero si se lo tomara por su valor relativo, no se podria sumar 7 + 11 o 11 + 7 y esperar el mismo resultado que:

7+(−11)=−11+7=−4
En este caso, el resultado es negativo, ya que el sumando con valor negativo es mayor que el término con valor positivo.

Sustracción

A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.

a−b≠b−aa−b≠b−a

Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de signos:

Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.

Ejemplo 1

27,8 – 12,1 = 15,7

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.

Ejemplo 2

12,1 – 27,8 = –15,7

• Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.

Ejemplo 3

–21,8 – 12,1 = –33,9

• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.

Ejemplo 4

27,8 – 12,1 = 27,8 + (–12,1) = 15,7

• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.

Ejemplo 5

27,8 – (–12,1) = 27,8 + 12,1 = 33,9 –27,8 – (–12,1) = –27,8 + 12,1 = 12,1 – 27,8 = –15,7

Multiplicación

En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.

Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.

a×b=c$$a\times b=c$$

Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:

+⋅+=+

$$$$

$$$$+⋅−=−

$$$$

$$$$−⋅+=−

$$$$

$$$$−⋅−=+

$$$$

Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.

−a×−b=c$$-a\times -b=c$$

Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.

a×−b=−c$$a\times -b=-c$$

−a×b=−c$$-a\times b=-c$$

Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.

a×−b×−c=d$$a\times -b\times -c=d$$

a×−b×c=−d$$a\times -b\times c=-d$$

Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.

a×1=a$$a\times 1=a$$

Si se multiplica por cero, el resultado será cero.

a×0=0$$a\times 0=0$$
$$\mathrm{<br>}$$ EJEMPLO:

Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos.

División

En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.

a−b=−ab=−ab$$\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}$$

Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.

EJEMPLOS 
.

Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.

Potenciación:

La potenciación tiene varias reglas como:

a0=1$$a^0=1$$

a1=a$$a^1=a$$

Multiplicación y división de potencias con la misma base.

am×an=am+n$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$

am÷an=am−n$$a^m÷a^n=a^{m-n}$$

Potencia de potencia.

(am)n=am×n$$(a^m{)}^n=a^{m\times n}$$

Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente.

an×bn=(a×b)n$$a^n\times b^n=(a\times b{)}^n$$

an÷bn=(a÷b)n