2.3.Operaciones entre conjuntos

Unión de conjuntos

Supongamos que tenemos los conjuntos M${\displaystyle M}$ y N${\displaystyle N}$ definidos como se muestra en la siguiente figura:

Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a M${\displaystyle M}$ o a N${\displaystyle N}$.  A este nuevo conjunto le llamamos unión de M${\displaystyle M}$ y N${\displaystyle N}$, y lo notamos de la siguiente manera: M∪N${\displaystyle M<span\; class="mjxassistivemathml"><span\; style="border:\; 1pt\; none\; windowtext;\; padding:\; 0cm;">\cup <mi></mi></span></span><span\; class="mjxassistivemathml"><span\; style="border:\; 1pt\; none\; windowtext;\; padding:\; 0cm;">N</span></span>.\; <o:p></o:p>}$

Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos M${\displaystyle M}$ y N${\displaystyle N}$, debes preguntarte cuáles están en el conjunto M${\displaystyle M}$ “o” en el conjunto N${\displaystyle N}$.  El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal U${\displaystyle U}$, que cumplan la condición de estar en uno o en otro.   

${\displaystyle <span\; style="font-family:\; Times,\; Times\; New\; Roman,\; serif;">\; </span>}$

Tenemos en este caso: M∪N={a,c,b,g,e,1}.

EJEMPLOS 

1.    A={José, Jerónimo}, B={María, Mabel, Marcela}; 

       AUB={ José, Jerónimo, María, Mabel, Marcela}

2.    P={pera, manzana}, C={limón, naranja}; F={cereza, grosella}; 

       PUCUF = {pera, manzana, limón, naranja, cereza, grosella}

3.    M={7, 9, 11}, N={4, 6, 8}; 

       MUN={7, 9, 11, 4, 6, 8}

4.    R={pelota, patín, paleta}, G={paleta, pelota, patín};  

       RUG= {pelota, paleta, patín}

5.    C= {margarita}, S={clavel}; T={botella}, 

        CUSUT = {margarita, clavel, botella}

Intersección de conjuntos

Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos M${\displaystyle M}$ y N${\displaystyle N}$ definidos anteriormente.  Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos M${\displaystyle M}$ y N${\displaystyle N}$ tienen en común.  A este nuevo conjunto le llamamos intersección de M${\displaystyle M}$ y N${\displaystyle N}$ y lo notamos de la siguiente manera: M∩N${\displaystyle M\cap N}$.

Para determinar que elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos M${\displaystyle M}$ y N${\displaystyle N}$te puedes preguntar qué elementos están en M${\displaystyle M}$ “y” en  N${\displaystyle N}$.  Todos los elementos del conjunto U${\displaystyle U}$ que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto M∩N${\displaystyle M\cap N}$.  En la figura de la arriba podemos ver la intersección de nuestros conjuntos M${\displaystyle M}$ y N${\displaystyle N}$, tenemos que M∩N={b}${\displaystyle M\cap N=\left\{b\right\}}$.

EJEMPLOS 

1. si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es:

A  B = { a, e}  

2. Si F = {Amarillo, Azul, rojo, verde. morado}   y G = {verde, cafe, rosado, negro, gris, rojo}   ENTONCES  F ∩ G = { verde, rojo}  ya que son los elementos que se repiten en ambos conjuntos. 

3. Si B = { Luis, Inés, Ana, Beto}     y  N = { Ana, Perdo, Beto} ENTONCES :

4. Si A = { a, b, c, d, e}     y         B = { a, e, i, o}

5. A = { 3,5,7,9 }   

B = { 1,2,3,4,5 }     

C = { 4,5,6,7,8 }    

A ∩ B = { 3, 5 }  

A ∩ C = { 5, 7 }  

B ∩ C = { 4, 5 }  

C ∩ A = { 4, 5 }  

Diferencia de conjuntos

Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos.

En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro.  Por ejemplo, si realizas la operación M${\displaystyle M}$ menos N${\displaystyle N}$, debes seleccionar los elementos de M${\displaystyle M}$ que no están en N${\displaystyle N}$.  Representamos la diferencia M menos N así: M \ N${\displaystyle M \backslash N}$.  Observa que en este caso M \ N={a,c}${\displaystyle M \backslash N=\{a,c\}}$.

EJEMPLOS 

1. Si A { a, b, c, d } y B { b, d } la diferencia de conjuntos A-B es A-B: { a, c}

2. Si A { a, b, c, d } y B { c, d, e, f  } entonces A-B: { a, b }

3. Si A {1, 2, 3, 4 } y B  { 2, 4 } entonces A-B: { 1, 3 }

4. Si A {amarillo, celeste, rosado, lila} y B  {rosado, amarillo } entonces A-B: { celeste, lila }

5. Si A {a, e, i, o , u } y B{i, u } entonces A-B : {a, e, o }

Diferencia simétrica de conjuntos

Que el nombre esta operación no te alarme, también es muy sencilla. 

En esta ocasión se deben escoger los elementos de M${\displaystyle M}$ que no están en N${\displaystyle N}$, y los elementos de N${\displaystyle N}$ que no están en M${\displaystyle M}$.  Puedes ver el resultado de la diferencia simétrica entre M${\displaystyle M}$ y N${\displaystyle N}$ en la figura de la izquierda.  Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo Δ${\displaystyle \Delta }$.  En el caso de nuestros conjuntos M${\displaystyle M}$ y N${\displaystyle N}$ tenemos: M Δ N={a,c,g,1,e}${\displaystyle M \Delta N=\{a,c,g,1,e\}}$.

EJEMPLOS:

1. Dados los conjuntos {0,1,2,3} y B {2,3,4,5} 

Solucion:

Hallar la diferencia simetrica de dos conjuntos es quedarse con los que pertenecen solamente a A y solamente a B. Es decir, no se toman los elementos que pertenecen a la interseccion de ambos conjuntos. El procedimiento es marcar la interseccion, que en este caso es 2 y 3, que no se toman, y solamente nos quedamos con los elementos que quedan del conjunto A y el conjunto B

A-B ={ 0,1,4,5}

2. Sean el conjunto A = {a, m, o, r} y B = {m, i, r, a}. Encuentre la diferencia y la diferencia simétrica entre entre A y B.

A - B = {o}

A U B = {a, m, o, r, i}

A ∩ B = {m, a, r}

A ∆ B = A U B -  A ∩ B = {o, i}

3. Sean los conjuntos C = {1, 10, 14, 5, 3, 8} y D = {2, 4, 5, 10, 7, 14}.  Encuentre la diferencia y la diferencia simétrica entre C y D.

C - D = {1, 3, 8}

C U D = {1, 10, 14, 5, 3, 8, 2, 4, 7}

C ∩ D = {10, 14, 5}

C ∆ D = C U D -  C ∩ D = {1, 3, 8, 2, 4, 7}

4. Observemos que:

Raúl, Samuel y Claudia son los guías que hablan solo inglés.

 Sofía y Clara son las que hablan solo español.

Santiago y Érika hablan ingles y español 

Raúl, Samuel y Claudia son los elementos del conjunto I que no pertenecen a E. Estos elementos corresponden a la diferencia I - E y se representa gráficamente como:

 Sofía y Clara son los elementos del conjunto E que no pertenecen a I. Estos elementos corresponden a la diferencia E - I y se representa gráficamente como:

                                            

Finalmente, Raúl, Samuel, Claudia, Sofía y Clara son los elementos que pertenecen a la unión entre I y E pero no pertenecen a su intersección. Gráficamente sería:

5. A={a, b, c, d, e}         B={d, e, f, g}                                          

A - B = {a ,b, c}

Complemento de un conjunto

La última operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos.  Decimos que el complemento de M${\displaystyle M}$ es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal U${\displaystyle U}$, que no pertenecen al conjunto M${\displaystyle M}$.  Es común usar los símbolos Mc${\displaystyle M^c}$, ¯¯¯¯M${\displaystyle \overline{M}}$ o M'${\displaystyle M\prime }$ para representar el complemento del conjunto M${\displaystyle M}$, nosotros usaremos el símbolo Mc${\displaystyle M^c}$.  En nuestro caso tenemos Mc={j,f,g,1,e,i,h}${\displaystyle M^c=\{j,f,g,1,e,i,h\}}$ y Nc={i,h,j,f,a,c}${\displaystyle N^c=\{i,h,j,f,a,c\}}$.

EJEMPLOS

1.Si el conjunto universal es U = { a, b, c, d, e } y  A = { b, c, d }, entonces el complementario de A respecto de U está formado por los elementos del universal que no estén en A, esto es:

Al = { a, e }

2. Si el conjunto universal es U = {1,3,5,7,9,11} y A = { 1,3,5,7} por lo tanto 

Ac  = {9,11}  que son los elementos que le hacen falta al conjunto A para ser igual al conjunto U 

3.U = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21} 

A = {17, 18} 

B = { 11, 12, 13}  

Por lo tanto: 

Ac  = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21 }  que son los elementos que le hacen falta al conjunto A para ser igual al conjunto U

4. Si el conjunto universal es  U = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}, A = {17, 18} y

B = { 11, 12, 13}  

Por lo tanto: 

Bc  = { 14, 15, 16, 19, 20, 21 } que son los elementos que le hacen falta al conjunto B para ser igual al conjunto U

5. Si el conjunto universal es U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  } y A = { 1, 3, 4, 7, 8 } Por lo tanto :

Ac  = { 2, 5, 6 }              

${\displaystyle <span\; style="font-family:\; "courier\; new"\; ,\; "courier"\; ,\; monospace;">\; </span>}$