2.1.Definición, tipos y cardinalidad

DEFINICION

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: 

personas, números, colores, letras, figuras, etc. 

Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Existen dos maneras de definir un conjunto dado:

a) Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto.

b) Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular).

Por comprensión	Por extensión
A = {Números dígitos}	A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {Números pares]	B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
C = {Múltiplos de 5}	C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}

TIPOS DE CONJUNTOS 

CONJUNTO FINITO: En este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. 

EJEMPLO 1 : el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.

EJEMPLO 2: conjunto de frutas tropicales 

                        X = {x / x es una fruta tropical}

EJEMPLO 3: conjunto de todos los meses del año 

                          X = {x / x es un mes del año}

EJEMPLO 4: conjunto de todos los planetas del sistema solar

                             X = {x / x es un planeta del sistema solar}

EJEMPLO5: agrupamiento de los numeros pares del 2 al 10

                             X = {x / x es un numero par}

Conjunto infinito: En estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. 
EJEMPLO 1: todos los granos de arena del planeta.

EJEMPLO 2: Las estrellas en el universo
EJEMPLO 3: Numeros impares
EJEMPLO 4:  Las galaxias en el Universo
EJEMPLO 5: Las nubes 

Conjunto unitario: Estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, 
EJEMPLO 1: El numero 9

EJEMPLO 2: La letra A
EJEMPLO 3: Una Manzana
EJEMPLO 4: El numero 7 
EJEMPLO 5: Un carro

CONJUNTO VACÍO: Estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes. 

EJEMPLO 1: un unicornio, en el caso del elemento inexistente.

EJEMPLO 2: conjunto de personas que viven en la luna

EJEMPLO 3: conjunto de perros que hablan 

EJEMPLO 4: conjunto de interseccion de lineas paralelas

EJEMPLO 5: conjunto de Elefantes con alas.

Conjunto referencial o Universal: A este conjunto también se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. 
EJEMPLO 1: el conjunto A esta compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el conjunto universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

EJEMPLO 2: Sean los conjuntos: 

A = {aves} B = {peces} C = {anfibios} D = {tigres}

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D y es conjunto de todos los animales.

U = {animales} Este sería el conjunto universal.

EJEMPLO 3:  Sean los conjuntos: 

E = {mujeres} F = {hombres}

El conjunto que incluye a los conjuntos E y F es el universo, conformado por

U = {seres humanos} Conjunto Universal.

EJEMPLO 4: Sean los conjuntos:

A= {Vocales} B = {Consonantes}

El conjunto universal serían U = Letras.

EJEMPLO 5: Si: 

A={1; 2; 3}  B={–1; 0; 4}

Un conjunto universal para ‘‘A’’ y ‘‘B’’ seria:
U={–1; 0; 1; 2; 3; 4}

Pues los elementos de ‘‘A’’ y ‘‘B’’ están es ‘‘U’’

Conjuntos disjuntos: Estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío. 

EJEMPLO 1: el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el B= e, f, g, h. Los conjuntos A y B entonces no tienen ningún elemento en común.

EJEMPLO 2:  A = {1, 3,, 5, 7}     B = {2, 4, 6, 8, 10}

                       A y B son disjuntos

EJEMPLO 3: C = {xER| x > 7}       D = {xER| x < 7}

                    C y D son disjuntos

EJEMPLO 4: Dados A={lunes, martes} y B={viernes, sábado, domingo}

                            se tiene que A ∩ B=Ø

EJEMPLO 5: Dados A={primavera, invierno} y B={verano, otoño}

                            se tiene que A ∩ B=Ø

Conjuntos equivalentes:  Son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos. 

EJEMPLO 1:  el conjunto A es (1, 2, 3, 4) y el B= (a, b, c, d) por tanto A y B son equivalentes.

 

EJEMPLO 2: el conjunto A es: (manzana, pera, frutilla) y el B: (piña, mandarina, naranja) son equivalentes porque poseen la misma cantidad de elementos.
EJEMPLO 3: el conjunto A es: (elefante, jirafa, leon, tigre) y el B: (camaron, tiburon, cangrejo, ballena) son equivalentes porque tienen la misma cantidad de elementos.
EJEMPLO 4: el conjunto A es: (amarillo, celeste) y el B: (rojo, negro) son equivalentes porque tienen la misma cantidad de elementos.
EJEMPLO 5: el conjunto A es: (lapiz, pluma, borrador) y el B: (carro, avion, barco) son equivalentes porque tienen la misma cantidad de elementos.

Conjuntos iguales: Esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. 
EJEMPLO 1: el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2. Ambos conjuntos son iguales porque poseen los mismos elementos, sin importar su orden.

EJEMPLO 2: El conjunto A es a, b, c, d y el conjunto B es b, c, a, d. Ambos conjuntos son iguales porque poseen los mismos elementos.
EJEMPLO 3: El conjunto A= gato, perro, vaca y el conjunto B= vaca, gato, perro. Ambos son conjuntos iguales porque poseen los mismos elementos.
EJEMPLO 4: El conjunto A= carro, moto, bicicleta y el conjunto B= bicicleta, carro, moto. Ambos son conjuntos iguales porque poseen los mismos elementos.
EJEMPLO 5: El conjunto A= girasol, rosa, margarita y el conjunto B= rosa, girasol, margarita. Ambos son conjuntos iguales porque poseen los mismos elementos.

Conjuntos homogéneos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. 
EJEMPLO 1:  el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo.

EJEMPLO 2: el conjunto A contiene los elementos a, e, i, o, u. Aqui todos sus elementos son las vocales por lo que conforman un conjunto homogeneo.
EJEMPLO 3: el conjunto B contiene los elementos (amarillo, azul, verde, rojo). Aqui todos sus elementos son los colores por lo que conforman un conjunto homogeneo.
EJEMPLO 4: el conjunto C contiene los elementos c, d, f, g, z. Aqui todos sus elementos son las letras del abecedario por lo que conforman un conjunto homogeneo 
EJEMPLO 5: los libros de una biblioteca.

Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, 
EJEMPLO 1:  el conjunto A es 2, j, perro, azul.

EJEMPLO 2: el conjunto A es (matematicas, geografia, historia, celeste)

EJEMPLO 3: el conjunto A es (cocodrilo, leon, venado, jirafa, gorra)

EJEMPLO 4: el conjunto A es (corazon, hoja, casa)

EJEMPLO 5: el conjunto A es (B, 7, gato)

CARDINALIDAD DE CONJUNTOS 

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que posee ese conjunto.

El símbolo que representa la cardinalidad de un conjunto A es n (a)

A = {x/x es un dígito impar en el sistema de numeración decimal}
N(A) = 5, porque A = {1, 3, 5, 7, 9}

Conjuntos relevantes


Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos:
• A es VACÍO si no tiene elementos. El símbolo que se utiliza para representar
al conjunto vacío es ∅. N(A) = 0
• A es UNITARIO si tiene un único elemento. N(A) = 1
• A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos.
• A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos.
• A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos

que deseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. El simbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U.
Ejemplos  (Conjuntos relevantes)
Conjunto VACÍO:
A = {x/x es un número par e impar a la vez}
Conjunto UNITARIO:
A = {*}
Conjunto FINITO:
A = {x/x es habitante del Ecuador}
Conjunto INFINITO:
A = {x/x es número entero}
Conjunto REFERENCIAL o UNIVERSO:

A = {x/x es una letra del alfabeto español}