3.3.Relación de orden

RELACIONES DE ORDEN
Decimos que una relación binaria es de orden cuando cumple las propiedades reflexivas, anti simétrica y transitiva. Cuando además cumple la propiedad conexa, diremos que el conjunto está totalmente ordenado, en caso contrario diremos que el conjunto está parcialmente ordenado.
Por medio de una relación de orden podemos establecer una ordenación de un conjunto a partir de un criterio. Aunque este criterio no tiene por qué ser único. Puede que existan formas diferentes para ordenar el conjunto.

EJEMPLOS:

Ejemplo 1.

Sea "⊂ " la relación de inclusión en P(A). Esta relación es un orden parcial en P(A). Por lo tanto (P(A), ⊂ ) es un conjunto parcialmente ordenado.
 

Ejemplo 2.

Sea Z + el conjunto de todos los enteros positivos. La relación "≤ " es un orden parcial en Z + , como lo es también "≥ ". Luego (Z + , ≤ ) es un conjunto parcialmente ordenado.

Ejemplo 3.

La relación de divisibilidad (b R a ⇔ b∉ a) que se lee, b es divisor de a, es un orden parcial en Z + .

Ejemplo 4.

La relación "< " en Z + no es un orden parcial porque no es reflexiva. 

Las ordenes parciales mas comunes son las relaciones ≥ y ≤ en Z y N . Por esta razón cuando se habla en general de un orden parcial R en un conjunto A, a menudo se usan los símbolos ≥ o ≤ para R. Siempre que (A, ≤ ) sea un conjunto parcialmente ordenado se usará el símbolo ≥ para indicar el orden inverso de ≤ de modo que (A, ≥ ) será el conjunto parcialmente ordenado dual. 

  Si (A, ≤ ) es un conjunto parcialmente ordenado, a los elementos a y b de A y B se les llama comparables si a ≤ b o b ≤ a. 

  Cuando un conjunto está parcialmente ordenado, no es necesario que todo par de elementos sean comparables. 

  Obsérvese que en el ejemplo 3, los elementos 2 y 7 no son comparables puesto que ni 2 divide a 7 ni 7 divide a 2. Por tanto la palabra parcial en estos conjuntos, significa que algunos elementos podrán no ser comparables. Si cada par de elementos en un conjunto parcialmente ordenado son comparables, se dice que el conjunto es totalmente ordenado. También se dice que el conjunto es una cadena.

Ejemplo 5.

El conjunto parcialmente ordenado del ejemplo 2 está totalmente ordenado