El mundo de las matematicas: 4.Funciones de una variable real

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martes, 29 de agosto de 2017

4.9 Funciones Racionales

DEFINICIÓN
Una función racional es f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible.

Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes características observables:

El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador.
Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x).
Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia +¥ y la otra a -¥. Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia +¥ o hacia -¥.
Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua, la misma, tanto si x ® +¥ como si x ® -¥
Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x).
Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0.
Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.

EJEMPLO 1 ANALIZADO:

Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1)

a) Dominio: La función no esta definida para x2-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1}

b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-f(x), por lo que es simétrica respecto del origen (0,0)

c) Cortes con los ejes:

Eje OX: f(x)=0 <-> x3=0 -> x=0

Eje OY: f(0)=0 -> y=0

d) Regiones:

x	(-¥,-1)	(-1,0)	(0,1)	(1,+¥)
x3	-	-	+	+
x+1	-	+	+	+
x-1	-	-	-	+
f(x)	-	+	-	+

e) Asíntotas:

Verticales: x=-1, x=1

f) Puntos singulares:

f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)2

f'(x)=0 « x2(x2-3)=0 ® x=0; x=Ö3; x=-Ö3

f(0)=0; f(-Ö3)=-3Ö3/2; f(Ö3)=3Ö3/2

f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3

f''(-Ö3)<0; x=-Ö3 es un máximo relativo

f''(Ö3)>0; x=Ö3 es un mínimo relativo

f''(0)=0, x=0 es un posible punto de inflexión

g) Puntos de Inflexión

f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3

f''(x)=0 « 2x3+6x=0 « 2x(x2+3)=0 « x=0.

Este es único punto de inflexión posible, para el que tenemos que comprobar si cambia en él la curvatura. En vez de acudir a f'''(0), como resulta tedioso el cálculo, basta comprobar que f''(x) cambia de signo al pasar por x=0:

En efecto f''(0-h)=f''(-h)>0 y f''(0+h)<0 con h>0 y arbitrariamente pequeño.

La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de Inflexión con tangente horizontal.

EJEMPLO 2:

Sea la función: f(x)=(x3+x2)/(2x2+x)

Dominio: No está definida en x=-1/2 y en x=0

Simplificando la expresión obtenemos: f(x)=(x2+x)/(2x+1)

Cortes con los ejes: (-1,0).
Regiones:

f(x)<0: (-¥,-1)U(-1/2,0)

f(x)>0: (-1,-1/2)U(0,+¥)

Asíntotas:

Vertical: x=-1/2

Oblicua: y=0.5x+0.25 La curva no la corta. Se aproxima por debajo cuando x ® + ¥; se aproxima por arriba cuando x ® -¥

Puntos singulares: No tiene.
Puntos de inflexión: No tiene

f''(x)=-2/(2x+1)3. Cóncava: x > -1/2; convexa: x < -1/2

EJEMPLO 3:

Sea la función: f(x)=(x2-2x+2)/(x-1)

Dominio: No está definida en x=1
Cortes con los ejes coordenados: (0,-2)
Regiones: f(x)<0:(-¥, 1); f(x)>0: (1,+¥)
Asíntotas:

Vertical: x=1

Oblicua: y=x-1. La curva no la corta. Se aproxima por arriba para x®+¥; se aproxima por debajo para x®-¥.

Puntos singulares:

Mínimo (2,2)

Máximo (0,-2)

Puntos de inflexión: No tiene. f''(x)=2/(x-1)3. Cóncava: (-¥,1); convexa: (1,+¥)

EJEMPLO 4:

Sea la función: f(x)= x/(x-2)2

Dominio: No está definida en x=2
Cortes con los ejes coordenados:(0,0)
Regiones: f(x)<0: (-¥,0); f(x)>0: (0,+¥)
Asíntotas:

-Horizontal: y=0. La curva no la corta.

-Vertical: x=2

Puntos singulares: Mínimo (-2,-1/8)
Puntos de Inflexión: No tiene. f''(x)=4/(x-2)2 > 0 para todo x: Convexa

4.8 Funciones Polinomiales

Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la Matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real.

La función polinomial se llama si porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio; su forma general es:

a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0

Como recordaras de tus cursos de álgebra, una expresión algebraica se puede clasificar por dos características importantes:

a) El número de términos que lo componen

b) El grado de expresión.

Para entender lo anterior, veamos el siguiente ejemplo:

El grado de una función estará dado por el mayor de los exponentes:

Algunas propiedades de las funciones polinomiales

1. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c)

2. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son las raíces de la

ecuación a xn + + a1x + a0 = 0.

3. Las funciones polinomiales son funciones continuas.

Entre las funciones polinomiales se encuentran por ejemplo: las funciones constantes, las

funciones lineales, las funciones cuadráticas, las funciones cúbicas, cuyas principales

características se describirán a continuación.

a) FUNCIÓN CONSTANTE

Una función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo.

El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una rectaparalela (o coincidente) al eje X.

b) FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a,b∈ IR

Propiedades

1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.

2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b.

Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es decreciente.

3. El dominio y el recorrido de una función lineal es IR.

4. La función lineal y = f(x) = ax + b , con a ≠ 0 es inyectiva (y sobre), por lo tanto, tiene inversa. Su inversa es también una función lineal:

Gráfica de y = ax + b , a > 0 Gráfica de y = ax + b , a < 0

Observación. Ecuación general de la recta

La ecuación general de una recta es Ax+By+C=0 con A ≠ 0 o B ≠ 0 .

· Cuando B=0, la gráfica es una recta paralela al eje Y o coincidente con este eje.

· Cuando B ≠ 0 , la gráfica es una recta que tiene pendiente igual a

c) Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

y = f (x) = ax2 + bx + c , con a ≠ 0 , a,b,c∈ IR

Propiedades de una función cuadrática

1. El gráfico de una función cuadrática es una parábola.

2. La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje Y en el punto (0,c) La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje Xcuando Δ = b2 − 4ac ≥ 0 , y en tal caso, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación.

ax2 + bx + c = 0.

3. Su gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto

4. La recta vertical es una recta eje de simetría de su gráfico.

5. Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo.

Gráfica de una función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c

a > 0 , Δ > 0 a > 0 , Δ = 0 a> 0 , Δ < 0

a < 0, Δ > 0 a < 0, Δ = 0 a < 0, Δ <0

d) Función cúbica

Una función cúbica es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR

Un ejemplo de función cúbica es la función y = f (x) = x3 , cuya gráfica es:

EJEMPLOS DE PUNCIONES POLINOMIALES

1) f (x) = 5

2) f (x) = 4x +1

3) f (x) = −x2 + 3x −1

4) f (x) = x3 + 2x2 − x + 5

5) f (x) = 0.3x4 + x + 3

4.7 Operaciones con funciones de variable real

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g) (x) = f (x) - g ( x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f · g) (x) = f (x) · g (x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

f'/g (x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a · f) (x) = a · f (x)

EJEMPLO 1 :

Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

· La función f + g se define como

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

· (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7

(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18

(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calcula f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

EJEMPLO 2:

Calcula la función suma de las siguientes funciones:

f₁(x)=x²+1 + f₂(x)=-2x²+4

y_s= y₁+y₂= x²+1 - 2x²+4 = -x²+5.

EJEMPLO 3:

Dadas las funciones f (x) = x² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

(f - g) (x) = f(x) - g (x) = x² - 3 - (x+3) = x²- 3 - x - 3 = x² - x - 6
(f - g) (1/3) = (1/3)² - 1/3 - 6 = -56/9
(f - g) (-2) = (-2)² - (-2) - 6 = 0
(f - g) (0) = (0)² - 0 - 6 = -6

Calculando las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

EJEMPLO 4:

Dadas las funciones f(x) = x/2 - 3 y g(x) = 2x+1, definir la función f · g.

Resolución:

(f · g) (x) = f(x) · g(x) = (x/2 - 3) (2x + 1) = x² - 11/2x -3

Calculando las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

EJEMPLO 5:

Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.

Calcular las imágenes de los números -1 , 2 y 3/2 mediante f/g

Resolución:

f/g (x) = f(x)/g(x) = -x-1/2x+3

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

4.6 Técnicas de Graficación de funciones

Mediante una gráfica conocida es posible obtener nuevas gráficas que tengan alguna relación con ella. Estas relaciones matemáticamente se las representa mediante sumas o productos de constantes con las variables del dominio y rango de la función original.

DESPLAZAMIENTOS

Pueden darse horizontal o verticalmente, es decir, podemos mover la gráfica de una función hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo.

Dada la regla de correspondencia de f , siendo c > 0, se pueden generar las nuevas funciones:

y = f (x+c) : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la izquierda.
y = f (x - c) : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la derecha.
y = f (x) + c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia arriba.
y = f (x) - c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia abajo.

Pueden ser con respecto a alguno de los ejes coordenados.

Dada la regla de correspondencia de f se pueden generar las siguientes funciones:

y = f (-x) : reflexión de la gráfica de f con respecto al eje Y.
y = -f (x) : reflexión de la gráfica de f con respecto al eje X.

COMPRENSIONES O ALARGAMIENTOS

Dada la regla de correspondencia f, siendo k > 0, se pueden generar las nuevas funciones:

y = k f(x) : si el valor de 0 < k < 1, la gráfica de f se comprime verticalmente y si k > 1, la gráfica de f evidencia un alargamiento vertical.

y = f (kx) : la gráfica de f representa compresión horizontal si k > 1 y alargamiento en sentido horizontal si 0 < k < 1.

EJEMPLO 1:

Desplazamiento vertical de las gráficas

y = f(x) + k ( k > 0)

y = f(x) - k ( k > 0)

Observa que la gráfica de y = x2 + 2 sube dos unidades desde el origen y la gráfica de

y = x2 - 3 baja tres unidades desde el origen.

Nota: La gráfica de la ecuación de la forma y = f(x) + k es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia arriba si k es positiva y desplazada hacia abajo si k es negativa. De manera que, la gráfica de y = f(x) + k se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar verticalmente la gráfica de y = f(x), k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades hacia abajo si k es negativa.

EJEMPLO 2:

Desplazamiento Horizontal de las Gráficas

y = f(x - h) ( k > 0)

y = f(x + h) ( k > 0)

Observa que la gráfica de y = ( x + 2)2 se mueve dos unidades hacia la izquierda y la gráfica de y = (x - 2)2 se mueve dos unidades hacia la derecha.

Nota: La gráfica de y = f(x + h) es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia la derecha si h es negativa y desplazada hacia la izquierda si h es positiva. De manera que, la gráfica de y = f( x + h) se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar horizontalmente la gráfica de y = f(x), h unidades hacia la izquierda si h es positiva y h unidades hacia la derecha si h es negativa.

EJEMPLO 3:

miércoles, 23 de agosto de 2017

4.10 Funciones exponenciales

DEFINICIÓN
Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente x en el exponente, es decir, son de la forma:

El método de resolución consiste en conseguir una igualdad de exponenciales con la misma base para poder igualar los exponentes. Por ejemplo:

3^{2 x} = 3^{6}

La ecuación anterior se cumple si los exponentes son iguales. Por tanto, en este ejemplo el valor que debe tomar x es 3.

Para conseguir igualdades como la anterior, tendremos que factorizar, expresar los números en forma de potencias, aplicar las propiedades de las potencias y escribir las raíces como potencias. En ocasiones, tendremos que realizar un cambio de variable para transformar la ecuación en una ecuación de primer o de segundo grado e, incluso, de grado mayor.

CARACTERÍSTICAS GENERALES

Las características generales de las funciones exponenciales son:

1) El dominio de una función exponencial es R.

2) Su recorrido es (0, +∞) .

3) Son funciones continuas.

4) Como a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1).

La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.

5) Como a1 = a , la función siempre pasa por el punto (1, a).

6) Si a > 1 la función es creciente.

Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

7) Son siempre concavas.

8) El eje X es una asíntota horizontal.

Si a > 1 :

Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez mas grandes, el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto:

Cuando x → - ∞ , entonces a^x → 0