6.5 Sistemas de Ecuaciones no lineales

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 − x

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

x² + (7 − x)² = 25

3º Se resuelve la ecuación resultante.

x² + 49 − 14x + x² = 25

2x² − 14x + 24 = 0

x² − 7x + 12 = 0

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

x = 3           y = 7 − 3        y = 4

x = 4           y = 7 − 4        y = 3

EJEMPLO 1:

y = 7 − x


x2 + (7 − x)2 = 25


x2 + 49 − 14x + x2 = 25


2x2 − 14x + 24 = 0


x2 − 7x + 12 = 0





x = 3 y = 7 − 3 y = 4


x = 4 y = 7 − 4 y = 3

EJEMPLO 2:

6.4 Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.

Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.

Gráficamente, la situación es la siguiente:

Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones (reducción, igualación, sustitución), pero acá veremos solamente un ejemplo en el cual utilizaremos el método de reducción.

Ejemplo 1:

Resuelve el sistema de ecuaciones:




Solución: Multiplicando la segunda ecuación por 2, obtenemos:




Sumando ambas ecuaciones, para eliminar una de las variables, se obtiene:

7x = 21 x = 3

Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo en la segunda, tenemos:

4 · 3 + 2y = 16 y = 2

Por lo tanto la solución del sistema es el punto de coordenadas (3, 2).

Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones
Al resolver el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma

podemos tener cualquiera de las siguientes situaciones:

i. Infinitas soluciones. Esto sucede cuando las ecuaciones representan a la misma recta Y.

Se produce cuando los coeficientes de x, de y y los términos libres son proporcionales:

ii. Sin solución Ocurre cuando el sistema de ecuaciones tiene los coeficientes de x y de y proporcionales entre sí, pero no proporcionales a los términos libres:

iii. Solución única Esto acontece cuando los coeficientes de x y de y no son proporcionales:

Es conveniente aclarar que la proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y equivale a que las pendientes de las rectas sean iguales, por lo tanto, es posible que:

Si las tres razones son iguales, entonces son la misma recta, por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones.

Si solamente las razones de los coeficientes de x y de y son iguales, entonces las rectas son paralelas no coincidentes y el sistema no tiene solución.

Ejemplo 2:

Hallar el valor de p de modo que el sistema no tenga soluciones:




Solución: Como el sistema no tiene solución (valga la redundancia), entonces debe ocurrir que:

6.3 Determinantes y propiedades

Llamamos determinante de A,  det A,  al número obtenido al sumar todos los diferentes productos de n elementos que se pueden formar con los elementos de dicha matriz, de modo que en cada producto figuren un elemento de cada distinta fila y uno de cada distinta columna, a cada producto se le asigna el signo (+) si la permutación de los subíndices de filas es del mismo orden que la permutación de los subíndices de columnas, y signo (-) si son de distinto orden.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.

En los párrafos siguientes consideramos que  A  es una matriz cuadrada.

Propiedad 1.

Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

Ejemplo 1.

            Sea  

Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene

                      

Propiedad 2.

El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.

 Esto es

                                                 

Ejemplo 2.

                      Sea       

La transpuesta de A  es          

Propiedad 3.

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3.

Sea            con      

Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda

           con     

Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.

Propiedad 4.

Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces   det A = 0.

Ejemplo 4.

Sea           entonces  

Propiedad 5.

Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A.

Ejemplo 5.

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  

Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente

                                                

cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es     

       

Propiedad 6.

Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   y se suma a otro renglón  de A,  entonces el determinante de la matriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A.

Ejemplo 6.

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  

Multiplicando la segunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente

  

                      

Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene

        

Propiedad 7.

Si  A  y  B  son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.

Esto es

                                              

Ejemplo 7.

Sean           y           

con       y      

 El producto      

Y su determinante  es     

Entonces     .

Propiedad 8.

El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)

Ejemplo 8.

I =                   det I = (1)(1) – (0)(0) = 1

Propiedad  9.

El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)

Ejemplo 9.

J =           |J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0

Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.

Uso de las propiedades para calcular determinantes de alto orden.

Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se puede reducir un determinante a una forma mas fácil de evaluar.  Si se reduce a una forma triangular superior o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.  Al hacerlo hay que tomar en cuenta las propiedades 3,  5  y  6,  como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 10.

Calcular el determinante de la matriz  A  de  

                  

Simplificamos el cálculo del determinante de A  reduciendo por renglones

      

Entonces, la permutación P₁₄  cambia el signo de  det A , las operaciones    y      no  cambian el valor del determinante.

De esta forma

                          

Se podría seguir reduciendo a la forma triangular, pero observando que hay varios ceros en el tercer renglón resulta fácil desarrollar por cofactores, primero de la primera columna, y después del tercer renglón: