Llamamos determinante de A, det A, al número obtenido al sumar todos los diferentes productos de n elementos que se pueden formar con los elementos de dicha matriz, de modo que en cada producto figuren un elemento de cada distinta fila y uno de cada distinta columna, a cada producto se le asigna el signo (+) si la permutación de los subíndices de filas es del mismo orden que la permutación de los subíndices de columnas, y signo (-) si son de distinto orden.
Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que A es una matriz cuadrada.
Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
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Ejemplo 1.
Sea 
Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene
Propiedad 2.
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.
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Esto es
Ejemplo 2.
Sea 
La transpuesta de A es 
Propiedad 3.
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo.
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Ejemplo 3.
Sea 
con 
con
Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda
con 
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.
Propiedad 4.
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.
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Ejemplo 4.
Sea 
entonces 
entonces
Propiedad 5.
Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.
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Ejemplo 5.
Sea 
cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2, 
cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar r = 3 se tiene la matriz B siguiente
cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es
Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.
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Ejemplo 6.
Sea 
cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2, 
cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando la segunda columna de A por el escalar 2 y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente
Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene
Propiedad 7.
Si A y B son matrices de
 , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B. |
Esto es
Ejemplo 7.
Sean 
y 
y
con 
y 
y
El producto 
Y su determinante es 
Entonces 
.
.
Propiedad 8.
El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)
Ejemplo 8.
I = 
det I = (1)(1) – (0)(0) = 1
det I = (1)(1) – (0)(0) = 1
Propiedad 9.
El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)
Ejemplo 9.
J = 
|J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0
|J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0
Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.
Uso de las propiedades para calcular determinantes de alto orden.
Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se puede reducir un determinante a una forma mas fácil de evaluar. Si se reduce a una forma triangular superior o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Al hacerlo hay que tomar en cuenta las propiedades 3, 5 y 6, como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10.
Calcular el determinante de la matriz A de 
Simplificamos el cálculo del determinante de A reduciendo por renglones
Entonces, la permutación P14 cambia el signo de det A , las operaciones 
y 
no cambian el valor del determinante.
y no cambian el valor del determinante.
De esta forma
Se podría seguir reduciendo a la forma triangular, pero observando que hay varios ceros en el tercer renglón resulta fácil desarrollar por cofactores, primero de la primera columna, y después del tercer renglón:
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