4.7 Operaciones con funciones de variable real

Suma de funciones

Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

   (f + g) (x) = f (x) + g (x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

   (f - g) (x) = f (x) - g ( x)

                                          

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

                                                          (f · g) (x) = f (x) · g (x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

                                                        f'/g (x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

                                                         (a · f) (x) = a · f (x)

EJEMPLO 1 :

 Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

· La función f + g se define como

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

· (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7

(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18

(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calcula f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

EJEMPLO 2:

Calcula la función suma de las siguientes funciones:

 f₁(x)=x²+1 + f₂(x)=-2x²+4

y_s = y₁+y₂ = x²+1 - 2x²+4 = -x²+5.

EJEMPLO 3:

Dadas las funciones f (x) = x² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

• (f - g) (x) = f(x) - g (x) = x² - 3 - (x+3) = x²- 3 - x - 3 = x² - x - 6 
• (f - g) (1/3) = (1/3)² - 1/3 - 6 = -56/9
• (f - g) (-2) = (-2)² - (-2) - 6 = 0
• (f - g) (0) = (0)² - 0 - 6 = -6

Calculando las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

EJEMPLO 4:

Dadas las funciones f(x) = x/2 - 3  y  g(x) = 2x+1, definir la función f · g.

Resolución:

• (f · g) (x) = f(x) · g(x) = (x/2 - 3) (2x + 1) = x² - 11/2x -3

Calculando las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

 EJEMPLO 5:

Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.

Calcular las imágenes de los números -1 , 2 y 3/2 mediante f/g 

Resolución:

• f/g (x) = f(x)/g(x) = -x-1/2x+3

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.