Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la Matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real.
La función polinomial se llama si porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio; su forma general es:
a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0
Como recordaras de tus cursos de álgebra, una expresión algebraica se puede clasificar por dos características importantes:
a) El número de términos que lo componen
b) El grado de expresión.
Para entender lo anterior, veamos el siguiente ejemplo:
El grado de una función estará dado por el mayor de los exponentes:
Algunas propiedades de las funciones polinomiales
1. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c)
2. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son las raíces de la
ecuación a xn + + a1x + a0 = 0.
3. Las funciones polinomiales son funciones continuas.
Entre las funciones polinomiales se encuentran por ejemplo: las funciones constantes, las
funciones lineales, las funciones cuadráticas, las funciones cúbicas, cuyas principales
características se describirán a continuación.
a) FUNCIÓN CONSTANTE
Una función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo.
El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una rectaparalela (o coincidente) al eje X.
b) FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a,b∈ IR
Propiedades
1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.
2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b.
Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es decreciente.
3. El dominio y el recorrido de una función lineal es IR.
4. La función lineal y = f(x) = ax + b , con a ≠ 0 es inyectiva (y sobre), por lo tanto, tiene inversa. Su inversa es también una función lineal:
Gráfica de y = ax + b , a > 0 Gráfica de y = ax + b , a < 0
Observación. Ecuación general de la recta
La ecuación general de una recta es Ax+By+C=0 con A ≠ 0 o B ≠ 0 .
· Cuando B=0, la gráfica es una recta paralela al eje Y o coincidente con este eje.
· Cuando B ≠ 0 , la gráfica es una recta que tiene pendiente igual a
c) Función cuadrática
Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
y = f (x) = ax2 + bx + c , con a ≠ 0 , a,b,c∈ IR
Propiedades de una función cuadrática
1. El gráfico de una función cuadrática es una parábola.
2. La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje Y en el punto (0,c) La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje Xcuando Δ = b2 − 4ac ≥ 0 , y en tal caso, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación.
ax2 + bx + c = 0.
3. Su gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto
4. La recta vertical es una recta eje de simetría de su gráfico.
5. Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo.
Gráfica de una función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c
a > 0 , Δ > 0 a > 0 , Δ = 0 a> 0 , Δ < 0
a < 0, Δ > 0 a < 0, Δ = 0 a < 0, Δ <0
d) Función cúbica
Una función cúbica es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR
Un ejemplo de función cúbica es la función y = f (x) = x3 , cuya gráfica es:
EJEMPLOS DE PUNCIONES POLINOMIALES
1) f (x) = 5
2) f (x) = 4x +1
3) f (x) = −x2 + 3x −1
4) f (x) = x3 + 2x2 − x + 5
5) f (x) = 0.3x4 + x + 3
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