martes, 29 de agosto de 2017

4.8 Funciones Polinomiales


Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la Matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real.

La función polinomial se llama si porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio; su forma general es:


a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an = 0


Como recordaras de tus cursos de álgebra, una expresión algebraica se puede clasificar por dos características importantes:

a) El número de términos que lo componen 
b) El grado de expresión. 

Para entender lo anterior, veamos el siguiente ejemplo:


El grado de una función estará dado por el mayor de los exponentes: 


Algunas propiedades de las funciones polinomiales 


1. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c)

2. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son las raíces de la
ecuación a xn + + a1x + a0 = 0. 

3. Las funciones polinomiales son funciones continuas. 

Entre las funciones polinomiales se encuentran por ejemplo: las funciones constantes, las
funciones lineales, las funciones cuadráticas, las funciones cúbicas, cuyas principales
características se describirán a continuación. 

a) FUNCIÓN CONSTANTE
Una función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo.
El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una rectaparalela (o coincidente) al eje X.



b) FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a,b∈ IR

Propiedades
1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.

2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b.
Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es decreciente. 

3. El dominio y el recorrido de una función lineal es IR.

4. La función lineal y = f(x) = ax + b , con a ≠ 0 es inyectiva (y sobre), por lo tanto, tiene inversa. Su inversa es también una función lineal:

                                    


Gráfica de y = ax + b , a > 0 Gráfica de y = ax + b , a < 0

Observación. Ecuación general de la recta

La ecuación general de una recta es Ax+By+C=0 con A ≠ 0 o B ≠ 0 . 

· Cuando B=0, la gráfica es una recta paralela al eje Y o coincidente con este eje. 

· Cuando B ≠ 0 , la gráfica es una recta que tiene pendiente igual a 

c) Función cuadrática
Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

y = f (x) = ax2 + bx + c , con a ≠ 0 , a,b,c∈ IR

Propiedades de una función cuadrática
1. El gráfico de una función cuadrática es una parábola.

2. La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje Y en el punto (0,c) La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje Xcuando Δ = b2 − 4ac ≥ 0 , y en tal caso, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación.

ax2 + bx + c = 0.

3. Su gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto 

4. La recta vertical es una recta eje de simetría de su gráfico. 

5. Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo. 

Gráfica de una función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c


                   

a > 0 , Δ > 0                                   a > 0 , Δ = 0                                         a> 0 , Δ < 0



                      

a < 0, Δ > 0                                         a < 0, Δ = 0                                        a < 0, Δ <0


d) Función cúbica

Una función cúbica es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR

Un ejemplo de función cúbica es la función y = f (x) = x3 , cuya gráfica es:





EJEMPLOS DE PUNCIONES POLINOMIALES

1) f (x) = 5 

2) f (x) = 4x +1 

3) f (x) = −x2 + 3x −1

4) f (x) = x3 + 2x2 − x + 5 

5) f (x) = 0.3x4 + x + 3










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