7.9 Polígonos y circunferencia

Sea r un número positivo y O un punto en el plano Π, el conjunto C = {P/ OP = r, P ∈Π } es una circunferencia de longitud de radio r, centrada en O. La unión de una circunferencia con su interior se denomina círculo.

ELEMENTOS DEL CIRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA:

1) Centro: es un punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

2) Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

3) Diámetro: es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia. Corresponde al doble del radio.

4) Arco: es un segmento curvilíneo de puntos que pertenecen a la circunferencia.

5) Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas con mayor longitud que podemos encontrar son los diámetros.

6) Secante: es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.

7) Tangente: es una recta que toca la circunferencia en un solo punto.

Ángulos en una circunferencia
Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella.

Vértice en el centro de la circunferencia

Lados que contienen radios de ella

m (< AOB) = m (arco AB)

Ejemplo 1:

(Debe leerse: arco SR es igual a un tercio de la circunferencia. Calcular el ángulo X)) 

Por definición del Teorema del ángulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del ángulo del centro (x). Como la circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360º significa que el arco SR mide 1/3 de 360º, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1 sola.

360º : 3 = 120º < SOR = 120º

Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. Elángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

< ABC inscrito que subtiende arco AC

< AOC del centro que subtiende arco AC

Vértice en la circunferencia.

Los lados son cuerdas de ella.

< ABC subtiende arco AC.

El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo.

m ( <ABC) = ½ m (<AOC)

(Debe leerse: medida del ángulo (ABC) es igual a la mitad del ángulo (AOC)

Ejemplo 2:

Si ángulo y es igual a 54 grados





Entonces ¿cuánto mide el ángulo x ?

El ángulo “y” es un ángulo del centro; el ángulo “x” es un ángulo inscrito que subtiende un arco común con el ángulo del centro (AB), por lo tanto, se debe aplicar el Teorema del ángulo inscrito.

Por Teorema: x = 1/2 y x = 1/2 · 54 = 54/2 = 27º

Caso Especial :

Si un ángulo inscrito subtiende una semicircunferencia , entonces es recto.



α = 180º β = 90º

CIRCULO O REGIÓN CIRCULAR: Es todo el espacio interior encerrado por una circunferencia..

REPRESENTACIONES MATERIALES DEL CIRCULO: Disco, plato, fondo de vaso, tapa de tarro, CD, etc.

ÁREA DEL CIRCULO: p · r 2