DEFINICIÓN
Una función racional es f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible.
Una función racional es f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible.
Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes características observables:
- El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador.
- Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x).
- Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia +¥ y la otra a -¥. Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia +¥ o hacia -¥.
- Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua, la misma, tanto si x ® +¥ como si x ® -¥
- Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x).
- Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0.
- Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.
EJEMPLO 1 ANALIZADO:
Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1)
a) Dominio: La función no esta definida para x2-x-6=0 -> x=-2, x=3.
Df=R- {-1,1}
b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-f(x), por lo que es simétrica
respecto del origen (0,0)
c) Cortes con los ejes:
Eje OX: f(x)=0 <-> x3=0 -> x=0
Eje OY: f(0)=0 -> y=0
d) Regiones:
x
|
(-¥,-1)
|
(-1,0)
|
(0,1)
|
(1,+¥)
|
x3
|
-
|
-
|
+
|
+
|
x+1
|
-
|
+
|
+
|
+
|
x-1
|
-
|
-
|
-
|
+
|
f(x)
|
-
|
+
|
-
|
+
|
e) Asíntotas:
Verticales: x=-1, x=1
f) Puntos singulares:
f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)2
f'(x)=0 « x2(x2-3)=0 ® x=0; x=Ö3; x=-Ö3
f(0)=0; f(-Ö3)=-3Ö3/2; f(Ö3)=3Ö3/2
f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3
f''(-Ö3)<0; x=-Ö3 es un máximo relativo
f''(Ö3)>0; x=Ö3 es un mínimo relativo
f''(0)=0, x=0 es un posible punto de inflexión
g) Puntos de Inflexión
f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3
f''(x)=0 « 2x3+6x=0 « 2x(x2+3)=0 « x=0.
Este es único punto
de inflexión posible, para el que tenemos que comprobar si cambia en él la
curvatura. En vez de acudir a f'''(0), como resulta tedioso el cálculo, basta
comprobar que f''(x) cambia de signo al pasar por x=0:
En efecto f''(0-h)=f''(-h)>0 y f''(0+h)<0 con h>0 y arbitrariamente
pequeño.
La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de Inflexión con
tangente horizontal.
EJEMPLO 2:
Sea la función: f(x)=(x3+x2)/(2x2+x)
- Dominio: No está definida en x=-1/2 y en x=0
- Cortes con los ejes: (-1,0).
- Regiones:
f(x)<0:
(-¥,-1)U(-1/2,0)
f(x)>0: (-1,-1/2)U(0,+¥)
- Asíntotas:
Vertical: x=-1/2
Oblicua: y=0.5x+0.25 La curva no la
corta. Se aproxima por debajo cuando x ® + ¥; se aproxima por arriba cuando x ® -¥
- Puntos singulares: No tiene.
- Puntos de inflexión: No tiene
f''(x)=-2/(2x+1)3.
Cóncava: x > -1/2; convexa: x < -1/2
EJEMPLO 3:
Sea la función: f(x)=(x2-2x+2)/(x-1)
- Dominio: No está definida en x=1
- Cortes con los ejes coordenados: (0,-2)
- Regiones: f(x)<0:(-¥, 1); f(x)>0: (1,+¥)
- Asíntotas:
Vertical: x=1
Oblicua: y=x-1. La curva no la corta. Se
aproxima por arriba para x®+¥; se aproxima por debajo para x®-¥.
- Puntos singulares:
Mínimo (2,2)
Máximo (0,-2)
- Puntos de inflexión: No tiene. f''(x)=2/(x-1)3. Cóncava: (-¥,1); convexa: (1,+¥)
EJEMPLO 4:
Sea la función: f(x)= x/(x-2)2
- Dominio: No está definida en x=2
- Cortes con los ejes coordenados:(0,0)
- Regiones: f(x)<0: (-¥,0); f(x)>0: (0,+¥)
- Asíntotas:
-Horizontal: y=0. La curva
no la corta.
-Vertical: x=2
- Puntos singulares: Mínimo (-2,-1/8)
- Puntos de Inflexión: No tiene. f''(x)=4/(x-2)2 > 0 para todo x: Convexa
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