martes, 29 de agosto de 2017

4.9 Funciones Racionales

DEFINICIÓN 
Una función racional es  f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible.
Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes características observables:
  • El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador.
  • Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x).
  • Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia +¥ y la otra a  -¥. Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia +¥ o hacia -¥.
  • Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua, la misma, tanto si x ® +¥ como si x ® -¥
  • Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes  respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x).
  • Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0.
  • Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.

EJEMPLO 1 ANALIZADO:

Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1)

a) Dominio: La función no esta definida para x2-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1}

b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-f(x), por lo que es simétrica respecto del origen (0,0)

c) Cortes con los ejes: 
Eje OX: f(x)=0 <-> x3=0 -> x=0 
Eje OY: f(0)=0 -> y=0 



d) Regiones:
x
(-¥,-1)
(-1,0)
(0,1)
(1,+¥)
x3
-
-
+
+
x+1
-
+
+
+
x-1
-
-
-
+
f(x)
-
+
-
+


e) Asíntotas:
Verticales: x=-1, x=1 

f) Puntos singulares: 
f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)2 
f'(x)=0 « x2(x2-3)=0 ® x=0; x=Ö3; x=-Ö3 
f(0)=0; f(-Ö3)=-3Ö3/2; f(Ö3)=3Ö3/2 
f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3 
f''(-Ö3)<0; x=-Ö3 es un máximo relativo 
f''(Ö3)>0; x=Ö3 es un mínimo relativo 
f''(0)=0, x=0 es un posible punto de inflexión 

g) Puntos de Inflexión 
f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3 
f''(x)=0 « 2x3+6x=0 « 2x(x2+3)=0 « x=0. 
Este es único punto de inflexión posible, para el que tenemos que comprobar si cambia en él la curvatura. En vez de acudir a f'''(0), como resulta tedioso el cálculo, basta comprobar que f''(x) cambia de signo al pasar por x=0: 


En efecto f''(0-h)=f''(-h)>0 y f''(0+h)<0 con h>0 y arbitrariamente pequeño.

La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de Inflexión con tangente horizontal.

EJEMPLO 2:
Sea la función: f(x)=(x3+x2)/(2x2+x) 
  • Dominio: No está definida en x=-1/2 y en x=0 
        Simplificando la expresión obtenemos: f(x)=(x2+x)/(2x+1) 
  • Cortes con los ejes: (-1,0). 
  • Regiones: 

           f(x)<0: (-¥,-1)U(-1/2,0)

           f(x)>0: (-1,-1/2)U(0,+¥) 
  • Asíntotas: 

          Vertical: x=-1/2

           Oblicua: y=0.5x+0.25 La curva no la corta. Se aproxima por debajo cuando x ® +                     ¥; se aproxima por arriba cuando x ® -¥ 
  • Puntos singulares: No tiene. 
  • Puntos de inflexión: No tiene 

           f''(x)=-2/(2x+1)3. Cóncava: x > -1/2; convexa: x < -1/2

EJEMPLO 3:

Sea la función: f(x)=(x2-2x+2)/(x-1) 
  • Dominio: No está definida en x=1 
  • Cortes con los ejes coordenados: (0,-2) 
  • Regiones: f(x)<0:(-¥, 1); f(x)>0: (1,+¥) 
  • Asíntotas: 

          Vertical: x=1
          Oblicua: y=x-1. La curva no la corta. Se aproxima por arriba para x®+¥; se                                 aproxima por debajo para x®-¥. 
  • Puntos singulares: 

          Mínimo (2,2)
          Máximo (0,-2) 
  • Puntos de inflexión: No tiene. f''(x)=2/(x-1)3. Cóncava: (-¥,1); convexa: (1,+¥) 


EJEMPLO 4:

Sea la función: f(x)= x/(x-2)2 
  • Dominio: No está definida en x=2 
  • Cortes con los ejes coordenados:(0,0) 
  • Regiones: f(x)<0: (-¥,0); f(x)>0: (0,+¥) 
  • Asíntotas: 

         -Horizontal: y=0. La curva no la corta.
         -Vertical: x=2 
  • Puntos singulares: Mínimo (-2,-1/8) 
  • Puntos de Inflexión: No tiene. f''(x)=4/(x-2)2 > 0 para todo x: Convexa 

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