El mundo de las matematicas: 5.Trigonometría

martes, 29 de agosto de 2017

5.5 Identidades trigonométricas

DEFINICIÓN

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:

A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:

EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3:

Observemos el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos una identidad:

Su solución :

EJEMPLO 4:

5.2 Funciones trigonométricas elementales

Las funciones trigonométricas básicas son el seno y el coseno. El resto de las funciones trigonométricas se obtiene a partir de ellas. Comenzamos con una definición informal.

Un ángulo dirigido puede ser considerado como un par de semirrectas (l1,l2) con el mismo
punto inicial.

Si para l1 elegimos siempre la mitad positiva del eje horizontal, un ángulo dirigido vendrá descrito mediante la segunda semirrecta. Puesto que cada semirrecta corta al círculo unidad exactamente una vez, un ángulo dirigido queda descrito, aún más sencillamente, mediante un punto sobre el círculo unidad, es decir un punto (x,y) tal que x2+y2=1.

Entonces el seno del ángulo se define como la ordenada y del punto que lo representa y el coseno como la abcisa x, según se representa en la figura siguiente:

Sin embargo queremos definir el seno y el coseno de cualquier número real x .

El procedimiento usual es asociar un ángulo a cada número.

Esta asociación se lleva a cabo del modo siguiente: dado un número real cualquiera x, elíjase un punto P sobre el círculo unidad tal que x sea la longitud del arco de círculo que empieza en (1,0) y que se dirige hacia P en sentido contrario al de las agujas de un reloj.

El ángulo así construido determinado por P se denomina ángulo de x radianes. Al ser 2p la longitud total del círculo, el ángulo de x radianes y el ángulo de 2p +x radianes son idénticos.

Se puede definir ahora el seno de x como el seno del ángulo de x radianes.

Esta definición se extiende primero al intervalo [-p , 0 ) de la forma siguiente:

Por último, la definición de las funciones seno y coseno se extiende a toda la recta real de forma periódica.
Las figuras siguientes muestran esta extensión.