7.10 Figuras circulares

El círculo es la superficie del plano delimitada por una circunferencia.

Las partes de un círculo se denominan figuras circulares:

Sector circular: Es aquella parte del círculo delimitada por dos radios y el arco que delimitan.

Segmento circular: Es aquella parte del círculo delimitada por una cuerda y el arco que delimita.

Corona circular: es la parte del círculo delimitado entre una circunferencia y una circunferencia interior concéntrica.

Trapecio circular: es la parte de la corona circular delimitada por 2 radios.

7.9 Polígonos y circunferencia

Sea r un número positivo y O un punto en el plano Π, el conjunto C = {P/ OP = r, P ∈Π } es una circunferencia de longitud de radio r, centrada en O. La unión de una circunferencia con su interior se denomina círculo.

ELEMENTOS DEL CIRCULO Y LA CIRCUNFERENCIA:

1) Centro: es un punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

2) Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

3) Diámetro: es el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia. Corresponde al doble del radio.

4) Arco: es un segmento curvilíneo de puntos que pertenecen a la circunferencia.

5) Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas con mayor longitud que podemos encontrar son los diámetros.

6) Secante: es una recta que corta la circunferencia en dos puntos.

7) Tangente: es una recta que toca la circunferencia en un solo punto.

Ángulos en una circunferencia
Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella.

Vértice en el centro de la circunferencia

Lados que contienen radios de ella

m (< AOB) = m (arco AB)

Ejemplo 1:

(Debe leerse: arco SR es igual a un tercio de la circunferencia. Calcular el ángulo X)) 

Por definición del Teorema del ángulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del ángulo del centro (x). Como la circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360º significa que el arco SR mide 1/3 de 360º, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1 sola.

360º : 3 = 120º < SOR = 120º

Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. Elángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

< ABC inscrito que subtiende arco AC

< AOC del centro que subtiende arco AC

Vértice en la circunferencia.

Los lados son cuerdas de ella.

< ABC subtiende arco AC.

El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo.

m ( <ABC) = ½ m (<AOC)

(Debe leerse: medida del ángulo (ABC) es igual a la mitad del ángulo (AOC)

Ejemplo 2:

Si ángulo y es igual a 54 grados





Entonces ¿cuánto mide el ángulo x ?

El ángulo “y” es un ángulo del centro; el ángulo “x” es un ángulo inscrito que subtiende un arco común con el ángulo del centro (AB), por lo tanto, se debe aplicar el Teorema del ángulo inscrito.

Por Teorema: x = 1/2 y x = 1/2 · 54 = 54/2 = 27º

Caso Especial :

Si un ángulo inscrito subtiende una semicircunferencia , entonces es recto.



α = 180º β = 90º

CIRCULO O REGIÓN CIRCULAR: Es todo el espacio interior encerrado por una circunferencia..

REPRESENTACIONES MATERIALES DEL CIRCULO: Disco, plato, fondo de vaso, tapa de tarro, CD, etc.

ÁREA DEL CIRCULO: p · r 2

7.8 Circunferencia y círculo

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. 

Centro de la circunferencia: Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia: Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Elementos de la circunferencia

Cuerda

Segmento que une dos puntos de la circunferencia.



Diámetro

Cuerda que pasa por el centro.



Arco

Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.



Semicircunferencia

Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.



Círculo



Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

Elementos de un círculo 

Segmento circular

Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.



Semicírculo

Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.



Zona circular

Porción de círculo limitada por dos cuerdas.



Sector circular

Porción de círculo limitada por dos radios.



Corona circular
Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.



Trapecio circular

Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.



EJEMPLO 1:





EJEMPLO 2:



EJEMPLO 3:

Vamos a calcular la longitud de esta circunferencia:



Longitud de la circunferencia = 3 x 3,14 = 9,42 m

7.7 Perímetro y área de un polígono

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y su área es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.

1. Área y perímetro del triángulo

Cálculo del perímetro

Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados.

P = a + b + c
 

Recuerda:

- El perímetro de un triángulo escaleno (todos los lados distinta medida) de lados a, b y c se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

P = a + b + c

- El perímetro de un triángulo isósceles (dos lados igual medida) de lados a y base b se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

P = a + a + b, es decir,

P = 2 • a + b

- El perímetro de un triángulo equilátero (todos los lados igual medida)  de lado a se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

P = a + a + a, es decir,

P = 3 • a

Cálculo del área

Es el producto de uno de sus lados por la altura correspondiente a él, dividido por dos.

EJEMPLO 1:
1. Considere los siguientes triángulos para determinar el perímetro y área de cada uno de ellos:

Primer triángulo: sus lados miden 4, 4.5 y 6, respectivamente y su altura mide 3. Perímetro: $P$ = 4 + 6 + 4.5 = 14.5 unidades Area: $A$ = 1 2 × 4 × 3 = 6 unidades cuadradas Segundo triángulo: sus lados miden 8, 9 y 6, respectivamente y su altura mide 7 Perímetro: $P$ = 8 + 9 + 6 = 23 unidades Area: $A$ = 1 2 × 7 × 6 = 21 unidades cuadradas

2. Si el área de un triángulo es 12 cm $2$ y su altura es 4 cm, determine la base del triángulo.

Como el área de un triángulo es $A$ = 1 2 b h , sustituyendo A por 12 y h por 4, se obtiene: $12$ = 1 2 b ( 4 ) ⇒ b = 2 × 12 4 = 6 cm

3. Si el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es 22 y la longitud de su hipotenusa es 10, halle el área del triángulo rectángulo.

Como el triángulo rectángulo es isósceles, los catetos tienen la misma longitud. Sea a la longitud del cateto y b la longitud de la hipotenusa se tiene que el perímetro es: $P$ = a + a + b = 2 a + 10 = 22 ⇒ a = 6 y el área del triángulo rectángulo es: $A$ = 1 2 6 × 6 = 18

4. ¿Puede ser equilátero un triángulo rectángulo?

No, los catetos no pueden ser iguales, pero la hipotenusa siempre es mayor que cualquier cateto, de otra forma no se podría formar un triángulo rectángulo.

 2.Área y perímetro del cuadrado

Cálculo del perímetro

Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados

P = a + a + a + a, es decir,

P = 4 • a

Cálculo del área

Para calcular el área de un cuadrado multiplicaremos su base por su altura, es decir, su largo por su ancho.

A = lado x lado = lado²

A = a • a

A = a²

3.Área y perímetro del rectángulo

Cálculo del perímetro

Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados
 

P = a + a + b + b, es decir,
P = 2 • a + 2 • b

P = 2 • (a + b) 

Cálculo del área

Para calcular el área de un rectángulo multiplicaremos su base por su altura, es decir, su largo por su ancho.

A = base x altura.

A = a • b

EJEMPLO 2:

Dado el siguiente rectángulo, si el perímetro es 58, determine el valor de x y luego su área.

La suma de las longitudes de los lados es igual a 58, resolviendo la ecuación: $6$ x + 2 x + 5 + 3 x + 9 + 6 x - 7 = 58 , la solución es: $x$ = 3 y los lados tienen longitud: 18, 11, 18 y 11, respectivamente y el área es: $A$ = 18 × 11 = 198

4.Área y perímetro del romboide

El perímetro del romboide es igual a la suma de las longitudes de sus cuatro lados.

P = 2 • a + 2 • b

P = 2 • (a + b)

Cálculo del área

Se obtiene a partir del área del rectángulo, multiplicando la base por la altura del romboide (no por el otro lado).

A = base x altura

EJEMPLO 3:

Halle los valores de x e y para que el cuadrilátero que se muestre sea un paralelogramo y luego determine su perímetro.

Para que sea un paralelogramo los lados paralelos deben ser de la misma longitud, por lo tanto se debe cumplir: $y$ = y 2 y = 1 ⇒ 6 x = 4 x + 8 x = 4 y el perímetro es $P$ = 1 + 1 + 24 + 24 = 50

5.Área y perímetro del rombo

Cálculo del área

Para calcular el área del rombo, recuerda que éste es un cuadrilátero con cuatro lados iguales, paralelos dos a dos.

Si unimos los vértices opuestos, obtenemos su diagonal mayor (la que mide más) y su diagonal menor (la que mide menos).
 

El área del rombo resultará de multiplicar su diagonal mayor por su diagonal menor y dividirlo por dos.

.

Cálculo del perímetro

Sumando las longitudes de los lados de un polígono hallaremos su perímetro.

¿Cómo calculo  el perímetro si sólo tengo el valor de las diagonales del rombo?

En ocasiones se conoce solo el valor de las diagonales , las que, como sabemos, son perpendiculares en un rombo. Usando esos valores también podemos calcular el área del rombo.

Si analizamos la siguiente figura 

veremos que el rombo (zona coloreada) corresponde exactamente a la mitad del rectágulo que se obtiene con la proyección de sus diagonales (D y d) .

También podemos decir que los lados del rectángulo corresponden a las diagonales del rombo.

Y como el área del rectángulo se obtiene multiplicando ancho por alto (A = D por d), entonces el área del rombo será la mitad de eso:

Dicho de otra manera: el área del rombo es igual al producto de sus diagonales dividido entre dos.

6.Áreas y perímetros  de polígonos regulares 

Cálculo del perímetro

Sumando las longitudes de los lados de un polígono hallaremos su perímetro.

Cálculo del área

Para calcular el área de un polígono regular cualquiera se divide en triángulos uniendo el centro con cada uno de los vértices. La altura de cada uno de los triángulos coincide con la apotema del polígono. Se calcula el área de uno de estos triángulos y se multiplica por el número de triángulos que se han formado.

n= número de lados

Perímetro = número de lados multiplicado por longitud del lado.

El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su apotema dividido entre dos.

Apotema: segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada lado.

Esta fórmula permite calcular la apotema de cualquier polígono regular.

EJEMPLO 4:

7.6 Cuadriláteros

DEFINICIÓN
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados y cuatro ángulos.

CLASIFICACIÓN
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.

-Los paralelogramos son los cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos.

Existen cuatro tipos de paralelogramos:

Cuadrado: Cuatro lados y cuatro ángulos iguales.

Rombo: Cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos.

Rectángulo: Lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos iguales.

Romboide: Lados y ángulos iguales dos a dos.

- Los trapecios sólo tienen dos lados paralelos, Tres tipos de trapecios:

Trapecio rectángulo: Dos ángulos rectos.

Trapecio isósceles: Lados no paralelos iguales y ángulos iguales dos a dos.

Trapecio escaleno: Cuatro lados y cuatro ángulos desiguales.

-Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.

EJEMPLOS:

7.5 Triángulos

DEFINICIÓN:

Los triángulos son los polígonos de 3 lados. Por tanto tienen 3 ángulos y tres vértices.

CLASIFICACIÓN :

Según sus lados los triángulos se clasifican en:

Equilátero: tiene los tres lados iguales

Isósceles: tiene dos lados iguales

Escaleno: tiene los tres lados distintos

Según sus ángulos los triángulos se clasifican en:

Área:

Área = ½bh

La fórmula (1/2)bh vale para todos los triángulos. Asegúrate de que la "h" la mides perpendicularmente a la "b".

Imagina que "doblas" el triángulo (volteándolo a lo largo de uno de los lados de arriba) para tener una figura de cuatro lados (que será en realidad un "paralelogramo"), entonces el área sería bh. Pero eso son dos triángulos, así que uno solo es (1/2)bh.

7.4 Poligonales y polígonos

LINEA POLIGONAL:

Una línea poligonal está formada por varios segmentos consecutivos. Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas.

Las líneas poligonales se pueden clasificar en abiertas y cerradas.

• Una línea poligonal es abierta cuando los extremos no coinciden en el mismo punto.Es decir, si trazamos la línea empezando por uno extremo terminamos de dibujarla terminando en otro punto diferente. Esto es un ejemplo de línea poligonal abierta.

• Una línea poligonal es cerrada cuando los extremos sí coinciden en el mismo punto. Es decir, empezando a dibujar la línea en un punto, podemos terminar de trazarla terminando en el mismo punto.
  Esto es un ejemplo de línea poligonal cerrada:

EJEMPLO 3:

Linea poligonal cerrada.

EJEMPLO 4:

Linea poligonal abierta.

POLÍGONO:

Es la región de plano limitada por una línea poligonal cerrada.

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO

Lado: es cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal que limita al polígono. 

Vértice: son los puntos donde se cortan los lados. 

Ángulo: la región de plano comprendida entre dos lados al cortarse en un punto llamado vértice. 

Diagonal: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. 

Cualquier polígono tiene el mismo número de lados, de ángulos y de vértices.

Perímetro: perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. O lo que 

es lo mismo, la medida de la línea poligonal cerrada que lo comprende. 

CLASES DE POLÍGONOS.

Los polígonos se clasifican por su número de lados en:

Los polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales se llaman polígonos regulares.
En caso contrario los polígonos son irregulares.