Las funciones juegan un papel muy importante en
matemática.
En matemática, una función (f) es una relación entre
un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de
elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un único
elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también
llamado rango o ámbito ).
EJEMPLOS:
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una
oficina y su peso expresado en kilos
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Conjunto X
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Conjunto Y
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Ángela
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55
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Pedro
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88
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Manuel
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62
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Adrián
|
88
|
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Roberto
|
90
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Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio )
constituye lo que se llama la entrada o variable
independiente . Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio )
constituye lo que se llama la salida o variable
dependiente . Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos
distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el
mismo peso.
Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números
reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente),
definida por la regla "doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio
de esta regla son:
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Conjunto X
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Conjunto Y
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Desarrollo
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− 2
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− 1
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f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
|
|
− 1
|
1
|
f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =
1
|
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0
|
3
|
f(0) = 2(0) + 3
= 0 + 3 = 3
|
|
1
|
5
|
f(1) = 2(1) + 3
= 2 + 3 = 5
|
|
2
|
7
|
f(2) = 2(2) + 3
= 4 + 3 = 7
|
|
3
|
9
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f(3) = 2(3) + 3
= 6 + 3 = 9
|
|
4
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11
|
f(4) = 2(4) + 3
= 8 + 3 = 11
|
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de
función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer
conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo
conjunto(Y) . Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento
en X sin su correspondiente elemento en Y . A uno y sólo a
uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder
dos elementos distintos en Y .
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función ( f) es una regla que asigna a
cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un
elemento, llamado f(x) , de un conjunto Y (codominio) .
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos
conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método)
que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X .
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f ,
definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por
B f : X -----> Y) o f(x) = x
Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce
como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o
conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f ,
mientras que x es la preimagen de f(x) .
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del
número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.
El rango (Rg) o recorrido (Rec)
o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que
se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3}
y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación
de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento
su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A
en B y determinaremos dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les
corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a
cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de
dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2,
3}
Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del
codominio B = {0, 4 , 6, 8 , 10, 12 }
Aquí debemos recordar que toda función es una relación ,
pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son
funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, B =
{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1 ; 2) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) ; (4 ; 5)
}
g = { (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; (2 ; 4) ; (3 ; 5) ; (4 ; 5)
}
h = { (1 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3)
} :
Está claro que f , g y h son
relaciones de A en B , pero sólo f es una función
(todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en
b); g no es función ya que (1 ; 2) y (1 ; 3)
repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya
que Dom ( h ) = {1 ; 2 ; 3} ≠ A (falta
el 4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},
Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y
que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el
resultado de extraer su raíz cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de
X en Y.
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9
tienen imagen en Y ( ),
pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen
elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es
funcion de X en Y
