6.4 Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.

Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.

Gráficamente, la situación es la siguiente:

Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones (reducción, igualación, sustitución), pero acá veremos solamente un ejemplo en el cual utilizaremos el método de reducción.

Ejemplo 1:

Resuelve el sistema de ecuaciones:




Solución: Multiplicando la segunda ecuación por 2, obtenemos:




Sumando ambas ecuaciones, para eliminar una de las variables, se obtiene:

7x = 21 x = 3

Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales, por ejemplo en la segunda, tenemos:

4 · 3 + 2y = 16 y = 2

Por lo tanto la solución del sistema es el punto de coordenadas (3, 2).

Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones
Al resolver el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma

podemos tener cualquiera de las siguientes situaciones:

i. Infinitas soluciones. Esto sucede cuando las ecuaciones representan a la misma recta Y.

Se produce cuando los coeficientes de x, de y y los términos libres son proporcionales:

ii. Sin solución Ocurre cuando el sistema de ecuaciones tiene los coeficientes de x y de y proporcionales entre sí, pero no proporcionales a los términos libres:

iii. Solución única Esto acontece cuando los coeficientes de x y de y no son proporcionales:

Es conveniente aclarar que la proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y equivale a que las pendientes de las rectas sean iguales, por lo tanto, es posible que:

Si las tres razones son iguales, entonces son la misma recta, por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones.

Si solamente las razones de los coeficientes de x y de y son iguales, entonces las rectas son paralelas no coincidentes y el sistema no tiene solución.

Ejemplo 2:

Hallar el valor de p de modo que el sistema no tenga soluciones:




Solución: Como el sistema no tiene solución (valga la redundancia), entonces debe ocurrir que: