4.6 Técnicas de Graficación de funciones

Mediante una gráfica conocida es posible obtener nuevas gráficas que tengan alguna relación con ella. Estas relaciones matemáticamente se las representa mediante sumas o productos de constantes con las variables del dominio y rango de la función original.

DESPLAZAMIENTOS 

Pueden darse horizontal o verticalmente, es decir, podemos mover la gráfica de una función hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo.

Dada la regla de correspondencia de f , siendo c > 0, se pueden generar las nuevas funciones:

y = f (x+c) : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la izquierda.
y = f (x - c) : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la derecha.
y = f (x) + c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia arriba.
y = f (x) - c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia abajo.


Pueden ser con respecto a alguno de los ejes coordenados.


Dada la regla de correspondencia de f se pueden generar las siguientes funciones:

y = f (-x) : reflexión de la gráfica de f con respecto al eje Y.
y = -f (x) : reflexión de la gráfica de f con respecto al eje X.


COMPRENSIONES O ALARGAMIENTOS

Dada la regla de correspondencia f, siendo k > 0, se pueden generar las nuevas funciones:

y = k f(x) : si el valor de 0 < k < 1, la gráfica de f se comprime verticalmente y si k > 1, la gráfica de f evidencia un alargamiento vertical. 

y = f (kx) : la gráfica de f representa compresión horizontal si k > 1 y alargamiento en sentido horizontal si 0 < k < 1. 

EJEMPLO 1:

Desplazamiento vertical de las gráficas

y = f(x) + k ( k > 0)

y = f(x) - k ( k > 0)





Observa que la gráfica de y = x2 + 2 sube dos unidades desde el origen y la gráfica de


y = x2 - 3 baja tres unidades desde el origen.

Nota: La gráfica de la ecuación de la forma y = f(x) + k es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia arriba si k es positiva y desplazada hacia abajo si k es negativa. De manera que, la gráfica de y = f(x) + k se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar verticalmente la gráfica de y = f(x), k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades hacia abajo si k es negativa.

EJEMPLO 2:

Desplazamiento Horizontal de las Gráficas

y = f(x - h) ( k > 0)


y = f(x + h) ( k > 0)





Observa que la gráfica de y = ( x + 2)2 se mueve dos unidades hacia la izquierda y la gráfica de y = (x - 2)2 se mueve dos unidades hacia la derecha.

Nota: La gráfica de y = f(x + h) es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia la derecha si h es negativa y desplazada hacia la izquierda si h es positiva. De manera que, la gráfica de y = f( x + h) se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar horizontalmente la gráfica de y = f(x), h unidades hacia la izquierda si h es positiva y h unidades hacia la derecha si h es negativa.

EJEMPLO 3: