8.2 Poliedros

Un poliedro es un sólido de caras planas (la palabra viene del griego, poli- significa "muchas" y -edro significa "cara").

Cada cara plana (simplemente "cara") es un polígono.

Así que para ser un poliedro no tiene que haber ninguna superficie curva.

Elementos de un poliedro

Caras

Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.

Aristas

Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.

Vértices

Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.

Ángulos diedros

Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos

Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

Diagonales

Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Ejemplos de poliedros:

Prisma triangular	Cubo	Dodecaedro

Poliedros comunes

	Sólidos platónicos
	Prismas
	Pirámides

Contar caras, vértices y aristas

Si cuentas el número de caras (las superficies planas), los vértices (las esquinas) y las aristas de un poliedro, descubrirás algo interesante:

El número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es igual a 2

Esto se puede escribir limpiamente con una ecuación:

F + V - E = 2

Se la llama "fórmula del poliedro" o "fórmula de Euler", y viene bien para saber si has contado correctamente!

Vamos a probar con algunos ejemplos:

Este cubo tiene: 6 caras 8 vértices 12 aristas
F + V - E = 6+8-12 = 2

Este prisma tiene: 5 caras 6 vértices 9 aristas
F + V - E = 5+6-9 = 2

8.1 Sistema tridimensional

"Sistemas Tridimensionales"

Un objeto es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. El sistema tridimensional mas usado en física (clásica) es el espacio: una dimensión para el ancho, otra para la altura y otro para la profundidad. Para representarlo basta con el gráfico de ejes cartesianos X,Y,Z. En las imágenes se puede observar el gráfico con el que se representan los sistemas tridimensionales.

SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL

Un sistema cartesiano tridimensional está compuesto por tres planos perpendiculares entre sí, los cuales se interceptan en los ejes coordenados, los que se denominan ejes Ox, Oy y Oz. Las coordenadas de un punto P son (x, y, z). La distancia signadas como x, y y z se llaman abscisa, ordenada y cota respectivamente. Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.

La regla de la mano derecha es: se orientan los dedos de la mano derecha, excepto el pulgar, en el sentido positivo del eje OX y se los envuelve o gira hacia el sentido positivo del eje OY, levantando recto el pulgar se tendrá el sentido positivo del eje OZ.

También se puede emplear la regla de la mano izquierda, como puede verse, los dedos medio, índice y pulgar se colocan en direcciones perpendiculares entre sí, se nombran los ejes a partir del dedo medio en orden alfabético.

Esta es la forma mas usual de representar los sentidos positivos de los ejes coordenados.

EJEMPLO 1:

ECUACIÓN DE LA DISTANCIA EN TRES DIMENSIONES

Si aplicamos el teorema de pitágoras para el triángulo rectángulo formado en el plano :





aplicando de nuevo el teorema de pitágoras en el triángulo rectángulo con base en el plano y altura en el eje :








por lo tanto la distancia entre los puntos es.




EJEMPLO 2:

ECUACIÓN DE LA ESFERA

Sea y dos puntos los cuales ∈y cumplen con entonces la grafica de este conjunto de puntos seria:





Una ecuación de la esfera con centro y radio es:





En particular, si el centro es el origen 0; entonces una ecuación de la esfera es: