7.7 Perímetro y área de un polígono

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y su área es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.

1. Área y perímetro del triángulo

Cálculo del perímetro

Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados.

P = a + b + c
 

Recuerda:

- El perímetro de un triángulo escaleno (todos los lados distinta medida) de lados a, b y c se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

P = a + b + c

- El perímetro de un triángulo isósceles (dos lados igual medida) de lados a y base b se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

P = a + a + b, es decir,

P = 2 • a + b

- El perímetro de un triángulo equilátero (todos los lados igual medida)  de lado a se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

P = a + a + a, es decir,

P = 3 • a

Cálculo del área

Es el producto de uno de sus lados por la altura correspondiente a él, dividido por dos.

EJEMPLO 1:
1. Considere los siguientes triángulos para determinar el perímetro y área de cada uno de ellos:

Primer triángulo: sus lados miden 4, 4.5 y 6, respectivamente y su altura mide 3. Perímetro: $P$ = 4 + 6 + 4.5 = 14.5 unidades Area: $A$ = 1 2 × 4 × 3 = 6 unidades cuadradas Segundo triángulo: sus lados miden 8, 9 y 6, respectivamente y su altura mide 7 Perímetro: $P$ = 8 + 9 + 6 = 23 unidades Area: $A$ = 1 2 × 7 × 6 = 21 unidades cuadradas

2. Si el área de un triángulo es 12 cm $2$ y su altura es 4 cm, determine la base del triángulo.

Como el área de un triángulo es $A$ = 1 2 b h , sustituyendo A por 12 y h por 4, se obtiene: $12$ = 1 2 b ( 4 ) ⇒ b = 2 × 12 4 = 6 cm

3. Si el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es 22 y la longitud de su hipotenusa es 10, halle el área del triángulo rectángulo.

Como el triángulo rectángulo es isósceles, los catetos tienen la misma longitud. Sea a la longitud del cateto y b la longitud de la hipotenusa se tiene que el perímetro es: $P$ = a + a + b = 2 a + 10 = 22 ⇒ a = 6 y el área del triángulo rectángulo es: $A$ = 1 2 6 × 6 = 18

4. ¿Puede ser equilátero un triángulo rectángulo?

No, los catetos no pueden ser iguales, pero la hipotenusa siempre es mayor que cualquier cateto, de otra forma no se podría formar un triángulo rectángulo.

 2.Área y perímetro del cuadrado

Cálculo del perímetro

Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados

P = a + a + a + a, es decir,

P = 4 • a

Cálculo del área

Para calcular el área de un cuadrado multiplicaremos su base por su altura, es decir, su largo por su ancho.

A = lado x lado = lado²

A = a • a

A = a²

3.Área y perímetro del rectángulo

Cálculo del perímetro

Es la longitud de su contorno ó la suma de sus lados
 

P = a + a + b + b, es decir,
P = 2 • a + 2 • b

P = 2 • (a + b) 

Cálculo del área

Para calcular el área de un rectángulo multiplicaremos su base por su altura, es decir, su largo por su ancho.

A = base x altura.

A = a • b

EJEMPLO 2:

Dado el siguiente rectángulo, si el perímetro es 58, determine el valor de x y luego su área.

La suma de las longitudes de los lados es igual a 58, resolviendo la ecuación: $6$ x + 2 x + 5 + 3 x + 9 + 6 x - 7 = 58 , la solución es: $x$ = 3 y los lados tienen longitud: 18, 11, 18 y 11, respectivamente y el área es: $A$ = 18 × 11 = 198

4.Área y perímetro del romboide

El perímetro del romboide es igual a la suma de las longitudes de sus cuatro lados.

P = 2 • a + 2 • b

P = 2 • (a + b)

Cálculo del área

Se obtiene a partir del área del rectángulo, multiplicando la base por la altura del romboide (no por el otro lado).

A = base x altura

EJEMPLO 3:

Halle los valores de x e y para que el cuadrilátero que se muestre sea un paralelogramo y luego determine su perímetro.

Para que sea un paralelogramo los lados paralelos deben ser de la misma longitud, por lo tanto se debe cumplir: $y$ = y 2 y = 1 ⇒ 6 x = 4 x + 8 x = 4 y el perímetro es $P$ = 1 + 1 + 24 + 24 = 50

5.Área y perímetro del rombo

Cálculo del área

Para calcular el área del rombo, recuerda que éste es un cuadrilátero con cuatro lados iguales, paralelos dos a dos.

Si unimos los vértices opuestos, obtenemos su diagonal mayor (la que mide más) y su diagonal menor (la que mide menos).
 

El área del rombo resultará de multiplicar su diagonal mayor por su diagonal menor y dividirlo por dos.

.

Cálculo del perímetro

Sumando las longitudes de los lados de un polígono hallaremos su perímetro.

¿Cómo calculo  el perímetro si sólo tengo el valor de las diagonales del rombo?

En ocasiones se conoce solo el valor de las diagonales , las que, como sabemos, son perpendiculares en un rombo. Usando esos valores también podemos calcular el área del rombo.

Si analizamos la siguiente figura 

veremos que el rombo (zona coloreada) corresponde exactamente a la mitad del rectágulo que se obtiene con la proyección de sus diagonales (D y d) .

También podemos decir que los lados del rectángulo corresponden a las diagonales del rombo.

Y como el área del rectángulo se obtiene multiplicando ancho por alto (A = D por d), entonces el área del rombo será la mitad de eso:

Dicho de otra manera: el área del rombo es igual al producto de sus diagonales dividido entre dos.

6.Áreas y perímetros  de polígonos regulares 

Cálculo del perímetro

Sumando las longitudes de los lados de un polígono hallaremos su perímetro.

Cálculo del área

Para calcular el área de un polígono regular cualquiera se divide en triángulos uniendo el centro con cada uno de los vértices. La altura de cada uno de los triángulos coincide con la apotema del polígono. Se calcula el área de uno de estos triángulos y se multiplica por el número de triángulos que se han formado.

n= número de lados

Perímetro = número de lados multiplicado por longitud del lado.

El área de un polígono regular es igual al producto de su perímetro por su apotema dividido entre dos.

Apotema: segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada lado.

Esta fórmula permite calcular la apotema de cualquier polígono regular.

EJEMPLO 4: