2.5.Relaciones

Relaciones en un conjunto.

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio , con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango , de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. 

EJEMPLOS:

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas ( par ordenado ) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

Ejemplo 1.

Si A = {2, 3}  y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

Solución

El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:

A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

R1 =  {(2, 1), (3, 1)}

R2 =  {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

R3 =  {(2, 4), (3, 5)}

La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 =  {( x , y ) / y = 1}.

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {( x , y ) / x < y }

Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 =  {( x , y ) / y = x + 2}

Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y . Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Ejemplo 2.

Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados ( x , y ) que satisfagan la relación

R =  {( x , y ) / x + y = 3}

Solución

El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados

C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6),  (–3, 2), (–3, 3),  (–3, 6)}

Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:

R =  {(1, 2), (–3, 6)}

Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C , el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

Ejemplo 3

Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.

R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.

R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.

R3 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x > y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.

R4 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x + y £ 7}

     = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.

R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.

R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.

R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A.

R8 = {(x, y) / x Î A , y Î B, x - y = 0} = 0. 

Ejemplo 4

Si A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, C = ∅ 

entonces: 

A × B = {(1, a),(1, b),(2, a),(2, b),(3, a),(3, b)} 

B × A = {(a, 1),(a, 2),(a, 3),(b, 1),(b, 2),(b, 3)} 

A × C = ∅

B × C = ∅

Ejemplo 5

Dados los conjuntos A {1, 3, 5}  y B {0, 2  } 

entonces:

A × B ={(1, 0); (1, 2); (3, 0); (3, 2); (5, 0); (5, 2) }

se tiene:

R1 = {(1,0), (1, 2), (3, 2)} 

R2 = {(1, 2); (3, 0); (5, 0); (5, 2)

R3 = {(1, 0),(5, 2)}

R4 = ∅