viernes, 7 de julio de 2017

4.1.Definición, dominio y rango

Se llama función real de variable real  a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:


Las relaciones y las funciones describen la interacción entre variables que están ligadas. Estas relaciones incluyen valores independientes y entradas, que son las variables que pueden ser manipuladas por las circunstancias. También incluyen valores dependientes y salidas, que son las variables determinadas por los valores independientes. Existe otro par de componentes que debemos considerar cuando hablamos de relaciones, se llaman dominio y rango.

El dominio de una función o relación es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Es la colección de todas las entradas posibles.

El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de todas las salidas posibles.
de todos los valores que f toma.

EJEMPLOS:


Ejemplo 1:

Considere la función mostrada en el diagrama.

Aquí, el dominio es el conjunto { A , B , C , E }. D no está en el dominio, ya que la función no está definida para D .
El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2.
Ejemplo 2:
El dominio de la función
f ( x ) = 1/ x
es todos los números reales excepto el cero (ya que en x = 0, la función no está definida: la división entre cero no está permitida!).
El rango también es todos los números reales excepto el cero. Puede ver que hay algún punto en la curva para cada valor de y excepto para y = 0.


Ejemplo 3:
La notación siguiente muestra que el dominio de la función está restringido al intervalo  
(–1, 1).
f ( x ) = x 2 ,     –1 https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/images/specialchars/lt.gif x https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/images/specialchars/lt.gif 1
La gráfica de esta función es como se muestra. Dese cuenta de los círculos abiertos, que muestran que la función no está definida en x= –1 y x = 1. Los valores del rango de y desde 0 hasta el 1 (incluyendo el 0, pero no incluyendo el 1). Así el rango de la función es
https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/images/specialchars/le.gif y < 1.

Ejemplo 4
dominio y recorrido de funciones

Dominio
Puesto que se trata de una función polinómica (no hay ningún punto problemático en la definición de la función, como dividir por 0), el dominio es todos los reales:
Dom(f)=R
Recorrido
Al ser un polinomio de primer grado, el recorrido es todos los reales:
Im(f)=R

Ejemplo 5

 Aquí hay una serie de figuras, cada una de ellas formada por cuadrados.


Podemos crear una función a partir de éstas usando el número de la figura como la entrada, y el número de cuadros que la conforman como la salida.

Una entrada de 1 tiene una salida de 1, ya que la figura 1 tiene sólo un cuadrado. Una entrada de 2 tiene una salida de 5, ya que la figura 2 contiene 5 cuadrados. Una entrada de 3, produce una salida de 9, ya que la figura 3 está formada de 9 cuadros. El dominio de ésta función se obtiene contando el número de entradas 1, 2, 3 que identifican cada una de las figuras usadas. Las entradas de ésta función son valores discretos, o valores que cambian en incrementos y no continuamente como la función del lanzamiento de la pelota. Sólo hay 3 figuras y por lo tanto las únicas posibles entradas son 1, 2, y 3. Entonces, el dominio de ésta función es 1, 2, 3. Podemos agrupar ésta lista de valores dentro de corchetes para indicar que forman un conjunto.

Dominio: {1, 2, 3}

El rango es el número de cuadros en cada figura. Las figuras tienen sólo 1, 5, o 9 cuadros, y ése es el rango. No hay ninguna figura que tenga 2 o 3.5 o cualquier otro número de cuadros. Como el dominio, el rango esta hecho de un conjunto de valores discretos.

Rango: {1, 5, 9}

Hemos limitado la entrada y la salida a 3 cada una porque sólo nos proporcionaron 3 figuras. ¿Cómo sería la notación del dominio y del rango si nos hubieran dicho que el patrón continuaría indefinidamente? ¡Fácil! Sólo añadimos tres puntos al final del conjunto de valores, para indicar que la secuencia continúa, así:

Dominio: {1, 2, 3, …}
Rango: {1, 5, 9, …}






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