jueves, 6 de julio de 2017

1.5.Razonamientos

Razonamientos son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal, y, una proposición final denominada conclusión.
Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su consecuente. 


Llamaremos de esta forma a cualquier proposición con la estructura:

P1 P2 · · · Pn −→ Q 

siendo n un entero positivo.

A las proposiciones Pi, i = 1, 2, . . ., n se les llama premisas del razonamiento y a la proposición Q, conclusión del mismo. 

RAZONAMIENTO VALIDO 
El razonamiento anterior se dice que es válido si la conclusión Q es verdadera cada vez que todas las premisas P1, P2, . . ., Pn lo sean. 

Obsérvese que esto significa que las premisas implican lógicamente la conclusión, es decir, un razonamiento será valido cuando:

P1 P2 · · · Pn =

¿También, y de acuerdo con ??, podemos decir que el razonamiento es válido si el condicional P1 P2 · · · Pn −→ Q 
es una tautología. Esto, a su vez, nos permite aceptar como valido el razonamiento en el caso de que alguna de las premisas sea falsa. En efecto, si alguna de las Pi, i = 1, 2, . . ., n es falsa, entonces P1P2· · ·Pn será falsa, luego el condicional P1P2· · ·Pn −→ Q es verdadero, independientemente del valor de verdad de la conclusión Q. 
Así pues, disponemos de dos formas de probar si un razonamiento es válido.  

1. Comprobar que el condicional P1 P2 · · · Pn −→ Q es una tautología. 
2. Comprobar que P1 P2 · · · Pn = Q. 

Ejemplo: 
Estudiar la validez del siguiente razonamiento: 

Si Torcuato se casa, entonces Florinda se tira al tren.
Florinda se tira al tren siempre y cuando Torcuato no se haga cura. 
Por lo tanto, si Torcuato se casa, entonces no se hace cura. 

Solución:

Sean p: Torcuato se casa. 
q: Florinda se tira al tren. 
r: Torcuato se hace cura.

El razonamiento escrito en forma simbólica seria:
 [(p → q) (q ←→ ¬r)] → (p → ¬r)

Veamos si el razonamiento es válido comprobando que es una tautología. Obsérvese que la única opción en la que el condicional puede ser falso es que siendo verdad la hipótesis, 
(p −→ q) (q ←→ ¬r), 

la conclusión, p → ¬r sea falsa. 
Ahora bien, p → ¬r es falsa, si p es verdad y ¬r es falso. Por otra parte, para que
 (p → q) (q ←→ ¬r), 
sea verdad, han de serlo ambas proposiciones y al ser falso ¬r, q también ha de serlo, por lo tanto, la tabla de verdad reducida, será 

p     q       r        p → q       q ←→ ¬r    p → ¬r      [(p → q) (q ←→ ¬r)] → (p → ¬r)
V     F      V           F                 V                   F                                          V 

luego, en efecto, es una tautología y, consecuentemente, el razonamiento es válido. 

Veamos ahora si 

[(p −→ q) (q ←→ ¬r)] = (p −→ ¬r) 

En efecto, si (p −→ q) (q ←→ ¬r) es verdad, entonces las dos proposiciones:
p −→ q y q ←→ ¬r han de ser, ambas, verdad. Estudiemos las opciones que se presentan según los valores de verdad de q. 

− Si q es verdad, entonces ¬r ha de ser verdad y p −→ ¬r es verdad, independientemente del valor de verdad que tenga p. 
− Si q es falso, entonces p es falso, ¬r también y, consecuentemente, p −→ ¬r es verdad. 

Así pues, en cualquier caso, p → ¬r es verdad. 
Otra forma de razonar seria partir de que la segunda es falsa y concluir que la primera también. En efecto, si p −→ ¬r es falsa, entonces p es verdad y ¬r es falsa y, dado que esta conclusión no depende del valor de verdad de q, habrá dos opciones:  

− Si q es verdad, entonces q ←→ ¬r es falsa y (p → q)(q ←→ ¬r) es falso independientemente del valor de verdad que tenga p. 
− Si q es falso, entonces p −→ q es falso y por lo tanto, (p → q) (q ←→ ¬r) es falso. 

Así pues, en cualquier caso, (p → q) (q ←→ ¬r) es falso. 
Tomando cualquiera de los dos caminos, hemos probado que:
 [(p −→ q) (q ←→ ¬r)] = (p −→ ¬r)
Por lo tanto, el razonamiento es válido. 

FALACIA 
Llamaremos de esta forma a un razonamiento que no es válido.
Veamos ejemplos de las falacias más habituales. 

Ejemplo 
La falacia de afirmar la conclusión. Estudiar la validez del siguiente razonamiento: 

Si el mayordomo es el asesino, se pondrá nervioso cuando lo interroguen. 
El mayordomo se puso muy nervioso cuando lo interrogaron. 
Por lo tanto, el mayordomo es el asesino. 

Solución:
Sean

p: El mayordomo es el asesino. 
q: El mayordomo se puso muy nervioso cuando lo interrogaron. 

El razonamiento escrito en forma simbólica seria:
 [(p → q) q] → p 

Veamos si es una tautología. 
La proposición anterior es falsa, únicamente si siendo verdad la hipótesis, (p −→ q) q, es falsa la conclusión p. Pero (p −→ q) q es verdad solo si p → q es verdad y q también lo es, luego una de las líneas de su tabla de verdad seria:

p           q            p → q           (p → q) q                       [(p → q) q] → p
F          V                 V                         V                                               F 

Por tanto, [(p −→ q) q] −→ p no es una tautología y el argumento no sería válido, es decir, es una falacia. 

Veamos ahora si [(p −→ q) q] = p.

Si (p → q) q es verdad, entonces, p → q y q son, ambas, verdad, por lo tanto, p puede ser verdad o falsa y, consecuentemente, (p → q) q no implica lógicamente p, es decir el razonamiento no es válido. 

El nerviosismo del mayordomo pudo estar no en su culpabilidad sino en cualquier otra causa. 

Ejemplo  
La falacia de negar el antecedente. Estudiar la validez del siguiente razonamiento: 

Si las manos del mayordomo están manchadas de sangre, entonces es culpable. 
El mayordomo esta impecablemente limpio. 
Por lo tanto, el mayordomo es inocente. 

Solución
Sean 

p: El mayordomo tiene las manos manchadas de sangre. 
q: El mayordomo es culpable. 

En forma simbólica, el razonamiento puede representarse en la forma: 

[(p −→ q) ¬p] = ¬q 

Veamos si es una tautología. 

Razonando igual que en el ejercicio anterior, una tabla de verdad abreviada seria: 

p          q             p → q        ¬p          (p → q) ¬p       ¬q         [(p −→ q) ¬p] −→ ¬q
F         V                  V              V                    V                    F                              F 

Luego no es una tautología y, consecuentemente, el argumento no es válido. 
Veamos ahora si [(p → q) ¬p] = ¬q. 

Si (p → q) ¬p es verdad, entonces p → q y ¬p han de ser ambas, verdad, luego p será falsa y p → q será verdad independientemente del valor de verdad de q, por lo tanto, no puede concluirse nada sobre la veracidad de ¬q y, consecuentemente, (p −→ q) ¬p no implica lógicamente ¬q de aquí que el razonamiento no sea válido.

El argumento ignora la obsesión compulsiva del mayordomo por la limpieza, lo cual le lleva siempre a lavarse las manos inmediatamente después de cometer un crimen. 

INFERENCIA 
Dado que no siempre es factible construir una tabla de verdad para comprobar la validez de un razonamiento (cuando el número de proposiciones es elevado, la tabla puede ser excesivamente larga), utilizaremos únicamente el procedimiento de probar que se da la implicación lógica. 

Regla de Inferencia 
Diremos que la proposición Q se infiere de las proposiciones P1, P2, . . ., Pn si Q es verdad cuando todas las Pis, i = 1, 2, . . ., n lo sean, es decir, cuando P1 P2 · · · Pn = Q.

Obsérvese que esto es lo mismo que decir que el razonamiento P1 P2 · · · Pn → Q sea válido. La escribiremos en la forma siguiente: 

P1 
P2
Pn
-------- 
      Q        


El símbolo se lee “por lo tanto”. Cada regla de inferencia tendrá su origen en una implicación lógica.

 Razonamientos son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal, y, una proposición final denominada conclusión.
Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su consecuente. 


Llamaremos de esta forma a cualquier proposición con la estructura:

P1 P2 · · · Pn −→ Q 

siendo n un entero positivo.

A las proposiciones Pi, i = 1, 2, . . ., n se les llama premisas del razonamiento y a la proposición Q, conclusión del mismo. 

RAZONAMIENTO VALIDO 
El razonamiento anterior se dice que es válido si la conclusión Q es verdadera cada vez que todas las premisas P1, P2, . . ., Pn lo sean. 

Obsérvese que esto significa que las premisas implican lógicamente la conclusión, es decir, un razonamiento será valido cuando:

P1 P2 · · · Pn =

¿También, y de acuerdo con ??, podemos decir que el razonamiento es válido si el condicional P1 P2 · · · Pn −→ Q 
es una tautología. Esto, a su vez, nos permite aceptar como valido el razonamiento en el caso de que alguna de las premisas sea falsa. En efecto, si alguna de las Pi, i = 1, 2, . . ., n es falsa, entonces P1P2· · ·Pn será falsa, luego el condicional P1P2· · ·Pn −→ Q es verdadero, independientemente del valor de verdad de la conclusión Q. 
Así pues, disponemos de dos formas de probar si un razonamiento es válido.  

1. Comprobar que el condicional P1 P2 · · · Pn −→ Q es una tautología. 
2. Comprobar que P1 P2 · · · Pn = Q. 

Ejemplo: 
Estudiar la validez del siguiente razonamiento: 

Si Torcuato se casa, entonces Florinda se tira al tren.
Florinda se tira al tren siempre y cuando Torcuato no se haga cura. 
Por lo tanto, si Torcuato se casa, entonces no se hace cura. 

Solución:

Sean p: Torcuato se casa. 
q: Florinda se tira al tren. 
r: Torcuato se hace cura.

El razonamiento escrito en forma simbólica seria:
 [(p → q) (q ←→ ¬r)] → (p → ¬r)

Veamos si el razonamiento es válido comprobando que es una tautología. Obsérvese que la única opción en la que el condicional puede ser falso es que siendo verdad la hipótesis, 
(p −→ q) (q ←→ ¬r), 

la conclusión, p → ¬r sea falsa. 
Ahora bien, p → ¬r es falsa, si p es verdad y ¬r es falso. Por otra parte, para que
 (p → q) (q ←→ ¬r), 
sea verdad, han de serlo ambas proposiciones y al ser falso ¬r, q también ha de serlo, por lo tanto, la tabla de verdad reducida, será 

p     q       r        p → q       q ←→ ¬r    p → ¬r      [(p → q) (q ←→ ¬r)] → (p → ¬r)
V     F      V           F                 V                   F                                          V 

luego, en efecto, es una tautología y, consecuentemente, el razonamiento es válido. 

Veamos ahora si 

[(p −→ q) (q ←→ ¬r)] = (p −→ ¬r) 

En efecto, si (p −→ q) (q ←→ ¬r) es verdad, entonces las dos proposiciones:
p −→ q y q ←→ ¬r han de ser, ambas, verdad. Estudiemos las opciones que se presentan según los valores de verdad de q. 

− Si q es verdad, entonces ¬r ha de ser verdad y p −→ ¬r es verdad, independientemente del valor de verdad que tenga p. 
− Si q es falso, entonces p es falso, ¬r también y, consecuentemente, p −→ ¬r es verdad. 

Así pues, en cualquier caso, p → ¬r es verdad. 
Otra forma de razonar seria partir de que la segunda es falsa y concluir que la primera también. En efecto, si p −→ ¬r es falsa, entonces p es verdad y ¬r es falsa y, dado que esta conclusión no depende del valor de verdad de q, habrá dos opciones:  

− Si q es verdad, entonces q ←→ ¬r es falsa y (p → q)(q ←→ ¬r) es falso independientemente del valor de verdad que tenga p. 
− Si q es falso, entonces p −→ q es falso y por lo tanto, (p → q) (q ←→ ¬r) es falso. 

Así pues, en cualquier caso, (p → q) (q ←→ ¬r) es falso. 
Tomando cualquiera de los dos caminos, hemos probado que:
 [(p −→ q) (q ←→ ¬r)] = (p −→ ¬r)
Por lo tanto, el razonamiento es válido. 

FALACIA 
Llamaremos de esta forma a un razonamiento que no es válido.
Veamos ejemplos de las falacias más habituales. 

Ejemplo 
La falacia de afirmar la conclusión. Estudiar la validez del siguiente razonamiento: 

Si el mayordomo es el asesino, se pondrá nervioso cuando lo interroguen. 
El mayordomo se puso muy nervioso cuando lo interrogaron. 
Por lo tanto, el mayordomo es el asesino. 

Solución:
Sean

p: El mayordomo es el asesino. 
q: El mayordomo se puso muy nervioso cuando lo interrogaron. 

El razonamiento escrito en forma simbólica seria:
 [(p → q) q] → p 

Veamos si es una tautología. 
La proposición anterior es falsa, únicamente si siendo verdad la hipótesis, (p −→ q) q, es falsa la conclusión p. Pero (p −→ q) q es verdad solo si p → q es verdad y q también lo es, luego una de las líneas de su tabla de verdad seria:

p           q            p → q           (p → q) q                       [(p → q) q] → p
F          V                 V                         V                                               F 

Por tanto, [(p −→ q) q] −→ p no es una tautología y el argumento no sería válido, es decir, es una falacia. 

Veamos ahora si [(p −→ q) q] = p.

Si (p → q) q es verdad, entonces, p → q y q son, ambas, verdad, por lo tanto, p puede ser verdad o falsa y, consecuentemente, (p → q) q no implica lógicamente p, es decir el razonamiento no es válido. 

El nerviosismo del mayordomo pudo estar no en su culpabilidad sino en cualquier otra causa. 

Ejemplo  
La falacia de negar el antecedente. Estudiar la validez del siguiente razonamiento: 

Si las manos del mayordomo están manchadas de sangre, entonces es culpable. 
El mayordomo esta impecablemente limpio. 
Por lo tanto, el mayordomo es inocente. 

Solución
Sean 

p: El mayordomo tiene las manos manchadas de sangre. 
q: El mayordomo es culpable. 

En forma simbólica, el razonamiento puede representarse en la forma: 

[(p −→ q) ¬p] = ¬q 

Veamos si es una tautología. 

Razonando igual que en el ejercicio anterior, una tabla de verdad abreviada seria: 

p          q             p → q        ¬p          (p → q) ¬p       ¬q         [(p −→ q) ¬p] −→ ¬q
F         V                  V              V                    V                    F                              F 

Luego no es una tautología y, consecuentemente, el argumento no es válido. 
Veamos ahora si [(p → q) ¬p] = ¬q. 

Si (p → q) ¬p es verdad, entonces p → q y ¬p han de ser ambas, verdad, luego p será falsa y p → q será verdad independientemente del valor de verdad de q, por lo tanto, no puede concluirse nada sobre la veracidad de ¬q y, consecuentemente, (p −→ q) ¬p no implica lógicamente ¬q de aquí que el razonamiento no sea válido.

El argumento ignora la obsesión compulsiva del mayordomo por la limpieza, lo cual le lleva siempre a lavarse las manos inmediatamente después de cometer un crimen. 

INFERENCIA 
Dado que no siempre es factible construir una tabla de verdad para comprobar la validez de un razonamiento (cuando el número de proposiciones es elevado, la tabla puede ser excesivamente larga), utilizaremos únicamente el procedimiento de probar que se da la implicación lógica. 

Regla de Inferencia 
Diremos que la proposición Q se infiere de las proposiciones P1, P2, . . ., Pn si Q es verdad cuando todas las Pis, i = 1, 2, . . ., n lo sean, es decir, cuando P1 P2 · · · Pn = Q.

Obsérvese que esto es lo mismo que decir que el razonamiento P1 P2 · · · Pn → Q sea válido. La escribiremos en la forma siguiente: 

P1 
P2
Pn
-------- 
      Q        


El símbolo se lee “por lo tanto”. Cada regla de inferencia tendrá su origen en una implicación lógica.

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