Razonamientos son proposiciones compuestas
que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas
premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal, y, una proposición
final denominada conclusión.
Las premisas o hipótesis corresponden al
antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su
consecuente.
Llamaremos de esta forma a cualquier proposición
con la estructura:
P1 ∧ P2 ∧
· · · ∧ Pn −→ Q
siendo n un entero positivo.
A las proposiciones Pi, i = 1, 2, . . ., n
se les llama premisas del razonamiento y a la proposición Q, conclusión del
mismo.
RAZONAMIENTO
VALIDO
El razonamiento anterior se dice que es válido
si la conclusión Q es verdadera cada vez que todas las premisas P1, P2, . . .,
Pn lo sean.
Obsérvese que esto significa que las
premisas implican lógicamente la conclusión, es decir, un razonamiento será
valido cuando:
P1 ∧ P2 ∧
· · · ∧ Pn =⇒ Q
¿También, y de acuerdo con ??, podemos
decir que el razonamiento es válido si el condicional P1 ∧
P2 ∧ · · · ∧ Pn −→ Q
es una tautología. Esto, a su vez, nos
permite aceptar como valido el razonamiento en el caso de que alguna de las
premisas sea falsa. En efecto, si alguna de las Pi, i = 1, 2, . . ., n es
falsa, entonces P1∧P2∧· · ·∧Pn
será falsa, luego el condicional P1∧P2∧·
· ·∧Pn −→ Q es verdadero, independientemente
del valor de verdad de la conclusión Q.
Así pues, disponemos de dos formas de
probar si un razonamiento es válido.
1. Comprobar que el condicional P1 ∧
P2 ∧ · · · ∧ Pn −→ Q es una
tautología.
2. Comprobar que P1 ∧
P2 ∧ · · · ∧ Pn =⇒
Q.
Ejemplo:
Estudiar la validez del siguiente
razonamiento:
Si Torcuato se casa, entonces Florinda se
tira al tren.
Florinda se tira al tren siempre y cuando
Torcuato no se haga cura.
Por lo tanto, si Torcuato se casa,
entonces no se hace cura.
Solución:
Sean p: Torcuato se casa.
q: Florinda se tira al tren.
r: Torcuato se hace cura.
El razonamiento escrito en forma simbólica
seria:
[(p → q) ∧
(q ←→ ¬r)] → (p → ¬r)
Veamos si el razonamiento es válido
comprobando que es una tautología. Obsérvese que la única opción en la que el
condicional puede ser falso es que siendo verdad la hipótesis,
(p −→ q) ∧ (q ←→
¬r),
la conclusión, p → ¬r sea
falsa.
Ahora bien, p → ¬r es falsa, si p es
verdad y ¬r es falso. Por otra parte, para que
(p → q) ∧
(q ←→ ¬r),
sea verdad, han de serlo ambas
proposiciones y al ser falso ¬r, q también ha de serlo, por lo tanto, la tabla
de verdad reducida, será
p q r
p → q q ←→ ¬r p →
¬r [(p → q) ∧ (q ←→ ¬r)] →
(p → ¬r)
V F V
F
V
F
V
luego, en efecto, es una tautología y,
consecuentemente, el razonamiento es válido.
Veamos ahora si
[(p −→ q) ∧ (q ←→ ¬r)] =⇒
(p −→ ¬r)
En efecto, si (p −→ q) ∧
(q ←→ ¬r) es verdad, entonces las dos proposiciones:
p −→ q y q ←→ ¬r han de ser, ambas,
verdad. Estudiemos las opciones que se presentan según los valores de verdad de
q.
− Si q es verdad, entonces ¬r ha de ser
verdad y p −→ ¬r es verdad, independientemente del valor de verdad que tenga
p.
− Si q es falso, entonces p es falso, ¬r también
y, consecuentemente, p −→ ¬r es verdad.
Así pues, en cualquier caso, p → ¬r es
verdad.
Otra forma de razonar seria partir de que
la segunda es falsa y concluir que la primera también. En efecto, si p −→ ¬r es
falsa, entonces p es verdad y ¬r es falsa y, dado que esta conclusión no
depende del valor de verdad de q, habrá dos opciones:
− Si q es verdad, entonces q ←→ ¬r es
falsa y (p → q)∧(q ←→ ¬r) es falso independientemente del
valor de verdad que tenga p.
− Si q es falso, entonces p −→ q es falso
y por lo tanto, (p → q) ∧ (q ←→ ¬r) es falso.
Así pues, en cualquier caso, (p → q) ∧
(q ←→ ¬r) es falso.
Tomando cualquiera de los dos caminos,
hemos probado que:
[(p −→ q) ∧
(q ←→ ¬r)] =⇒ (p −→ ¬r)
Por lo tanto, el razonamiento es válido.
FALACIA
Llamaremos de esta forma a un razonamiento
que no es válido.
Veamos ejemplos de las falacias más
habituales.
Ejemplo
La falacia de afirmar la conclusión.
Estudiar la validez del siguiente razonamiento:
Si el mayordomo es el asesino, se pondrá
nervioso cuando lo interroguen.
El mayordomo se puso muy nervioso cuando
lo interrogaron.
Por lo tanto, el mayordomo es el
asesino.
Solución:
Sean
p: El mayordomo es el asesino.
q: El mayordomo se puso muy nervioso
cuando lo interrogaron.
El razonamiento escrito en forma simbólica
seria:
[(p → q) ∧
q] → p
Veamos si es una tautología.
La proposición anterior es falsa, únicamente
si siendo verdad la hipótesis, (p −→ q) ∧ q, es falsa la
conclusión p. Pero (p −→ q) ∧ q es verdad solo si p → q es verdad y q también
lo es, luego una de las líneas de su tabla de verdad seria:
p q
p → q
(p → q) ∧ q
[(p → q) ∧ q] → p
F V
V
V
F
Por tanto, [(p −→ q) ∧
q] −→ p no es una tautología y el argumento no sería válido, es decir, es una
falacia.
Veamos ahora si [(p −→ q) ∧
q] =⇒ p.
Si (p → q) ∧ q es verdad,
entonces, p → q y q son, ambas, verdad, por lo tanto, p puede ser verdad o
falsa y, consecuentemente, (p → q) ∧ q no implica lógicamente
p, es decir el razonamiento no es válido.
El nerviosismo del mayordomo pudo estar no
en su culpabilidad sino en cualquier otra causa.
Ejemplo
La falacia de negar el antecedente.
Estudiar la validez del siguiente razonamiento:
Si las manos del mayordomo están manchadas
de sangre, entonces es culpable.
El mayordomo esta impecablemente limpio.
Por lo tanto, el mayordomo es
inocente.
Solución
Sean
p: El mayordomo tiene las manos manchadas
de sangre.
q: El mayordomo es culpable.
En forma simbólica, el razonamiento puede
representarse en la forma:
[(p −→ q) ∧ ¬p] =⇒
¬q
Veamos si es una tautología.
Razonando igual que en el ejercicio
anterior, una tabla de verdad abreviada seria:
p q
p → q ¬p
(p → q) ∧ ¬p
¬q [(p −→ q) ∧
¬p] −→ ¬q
F V
V
V
V
F
F
Luego no es una tautología y,
consecuentemente, el argumento no es válido.
Veamos ahora si [(p → q) ∧
¬p] =⇒ ¬q.
Si (p → q) ∧ ¬p es verdad,
entonces p → q y ¬p han de ser ambas, verdad, luego p será falsa y p → q será
verdad independientemente del valor de verdad de q, por lo tanto, no puede
concluirse nada sobre la veracidad de ¬q y, consecuentemente, (p −→ q) ∧
¬p no implica lógicamente ¬q de aquí que el razonamiento no sea válido.
El argumento ignora la obsesión compulsiva
del mayordomo por la limpieza, lo cual le lleva siempre a lavarse las manos
inmediatamente después de cometer un crimen.
INFERENCIA
Dado que no siempre es factible construir
una tabla de verdad para comprobar la validez de un razonamiento (cuando el número
de proposiciones es elevado, la tabla puede ser excesivamente larga),
utilizaremos únicamente el procedimiento de probar que se da la implicación lógica.
Regla de Inferencia
Diremos que la proposición Q se infiere de
las proposiciones P1, P2, . . ., Pn si Q es verdad cuando todas las Pis, i = 1,
2, . . ., n lo sean, es decir, cuando P1 ∧ P2 ∧
· · · ∧ Pn =⇒ Q.
Obsérvese que esto es lo mismo que decir que
el razonamiento P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧
Pn → Q sea válido. La escribiremos en la forma siguiente:
P1
P2
.
.
.
Pn
--------
∴
Q
El símbolo ∴ se lee “por lo
tanto”. Cada regla de inferencia tendrá su origen en una implicación lógica.
Las premisas o hipótesis corresponden al
antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su
consecuente.
Llamaremos de esta forma a cualquier proposición
con la estructura:
P1 ∧ P2 ∧
· · · ∧ Pn −→ Q
siendo n un entero positivo.
A las proposiciones Pi, i = 1, 2, . . ., n
se les llama premisas del razonamiento y a la proposición Q, conclusión del
mismo.
RAZONAMIENTO
VALIDO
El razonamiento anterior se dice que es válido
si la conclusión Q es verdadera cada vez que todas las premisas P1, P2, . . .,
Pn lo sean.
Obsérvese que esto significa que las
premisas implican lógicamente la conclusión, es decir, un razonamiento será
valido cuando:
P1 ∧ P2 ∧
· · · ∧ Pn =⇒ Q
¿También, y de acuerdo con ??, podemos
decir que el razonamiento es válido si el condicional P1 ∧
P2 ∧ · · · ∧ Pn −→ Q
es una tautología. Esto, a su vez, nos
permite aceptar como valido el razonamiento en el caso de que alguna de las
premisas sea falsa. En efecto, si alguna de las Pi, i = 1, 2, . . ., n es
falsa, entonces P1∧P2∧· · ·∧Pn
será falsa, luego el condicional P1∧P2∧·
· ·∧Pn −→ Q es verdadero, independientemente
del valor de verdad de la conclusión Q.
Así pues, disponemos de dos formas de
probar si un razonamiento es válido.
1. Comprobar que el condicional P1 ∧
P2 ∧ · · · ∧ Pn −→ Q es una
tautología.
2. Comprobar que P1 ∧
P2 ∧ · · · ∧ Pn =⇒
Q.
Ejemplo:
Estudiar la validez del siguiente
razonamiento:
Si Torcuato se casa, entonces Florinda se
tira al tren.
Florinda se tira al tren siempre y cuando
Torcuato no se haga cura.
Por lo tanto, si Torcuato se casa,
entonces no se hace cura.
Solución:
Sean p: Torcuato se casa.
q: Florinda se tira al tren.
r: Torcuato se hace cura.
El razonamiento escrito en forma simbólica
seria:
[(p → q) ∧
(q ←→ ¬r)] → (p → ¬r)
Veamos si el razonamiento es válido
comprobando que es una tautología. Obsérvese que la única opción en la que el
condicional puede ser falso es que siendo verdad la hipótesis,
(p −→ q) ∧ (q ←→
¬r),
la conclusión, p → ¬r sea
falsa.
Ahora bien, p → ¬r es falsa, si p es
verdad y ¬r es falso. Por otra parte, para que
(p → q) ∧
(q ←→ ¬r),
sea verdad, han de serlo ambas
proposiciones y al ser falso ¬r, q también ha de serlo, por lo tanto, la tabla
de verdad reducida, será
p q r
p → q q ←→ ¬r p →
¬r [(p → q) ∧ (q ←→ ¬r)] →
(p → ¬r)
V F V
F
V
F
V
luego, en efecto, es una tautología y,
consecuentemente, el razonamiento es válido.
Veamos ahora si
[(p −→ q) ∧ (q ←→ ¬r)] =⇒
(p −→ ¬r)
En efecto, si (p −→ q) ∧
(q ←→ ¬r) es verdad, entonces las dos proposiciones:
p −→ q y q ←→ ¬r han de ser, ambas,
verdad. Estudiemos las opciones que se presentan según los valores de verdad de
q.
− Si q es verdad, entonces ¬r ha de ser
verdad y p −→ ¬r es verdad, independientemente del valor de verdad que tenga
p.
− Si q es falso, entonces p es falso, ¬r también
y, consecuentemente, p −→ ¬r es verdad.
Así pues, en cualquier caso, p → ¬r es
verdad.
Otra forma de razonar seria partir de que
la segunda es falsa y concluir que la primera también. En efecto, si p −→ ¬r es
falsa, entonces p es verdad y ¬r es falsa y, dado que esta conclusión no
depende del valor de verdad de q, habrá dos opciones:
− Si q es verdad, entonces q ←→ ¬r es
falsa y (p → q)∧(q ←→ ¬r) es falso independientemente del
valor de verdad que tenga p.
− Si q es falso, entonces p −→ q es falso
y por lo tanto, (p → q) ∧ (q ←→ ¬r) es falso.
Así pues, en cualquier caso, (p → q) ∧
(q ←→ ¬r) es falso.
Tomando cualquiera de los dos caminos,
hemos probado que:
[(p −→ q) ∧
(q ←→ ¬r)] =⇒ (p −→ ¬r)
Por lo tanto, el razonamiento es válido.
FALACIA
Llamaremos de esta forma a un razonamiento
que no es válido.
Veamos ejemplos de las falacias más
habituales.
Ejemplo
La falacia de afirmar la conclusión.
Estudiar la validez del siguiente razonamiento:
Si el mayordomo es el asesino, se pondrá
nervioso cuando lo interroguen.
El mayordomo se puso muy nervioso cuando
lo interrogaron.
Por lo tanto, el mayordomo es el
asesino.
Solución:
Sean
p: El mayordomo es el asesino.
q: El mayordomo se puso muy nervioso
cuando lo interrogaron.
El razonamiento escrito en forma simbólica
seria:
[(p → q) ∧
q] → p
Veamos si es una tautología.
La proposición anterior es falsa, únicamente
si siendo verdad la hipótesis, (p −→ q) ∧ q, es falsa la
conclusión p. Pero (p −→ q) ∧ q es verdad solo si p → q es verdad y q también
lo es, luego una de las líneas de su tabla de verdad seria:
p q
p → q
(p → q) ∧ q
[(p → q) ∧ q] → p
F V
V
V
F
Por tanto, [(p −→ q) ∧
q] −→ p no es una tautología y el argumento no sería válido, es decir, es una
falacia.
Veamos ahora si [(p −→ q) ∧
q] =⇒ p.
Si (p → q) ∧ q es verdad,
entonces, p → q y q son, ambas, verdad, por lo tanto, p puede ser verdad o
falsa y, consecuentemente, (p → q) ∧ q no implica lógicamente
p, es decir el razonamiento no es válido.
El nerviosismo del mayordomo pudo estar no
en su culpabilidad sino en cualquier otra causa.
Ejemplo
La falacia de negar el antecedente.
Estudiar la validez del siguiente razonamiento:
Si las manos del mayordomo están manchadas
de sangre, entonces es culpable.
El mayordomo esta impecablemente limpio.
Por lo tanto, el mayordomo es
inocente.
Solución
Sean
p: El mayordomo tiene las manos manchadas
de sangre.
q: El mayordomo es culpable.
En forma simbólica, el razonamiento puede
representarse en la forma:
[(p −→ q) ∧ ¬p] =⇒
¬q
Veamos si es una tautología.
Razonando igual que en el ejercicio
anterior, una tabla de verdad abreviada seria:
p q
p → q ¬p
(p → q) ∧ ¬p
¬q [(p −→ q) ∧
¬p] −→ ¬q
F V
V
V
V
F
F
Luego no es una tautología y,
consecuentemente, el argumento no es válido.
Veamos ahora si [(p → q) ∧
¬p] =⇒ ¬q.
Si (p → q) ∧ ¬p es verdad,
entonces p → q y ¬p han de ser ambas, verdad, luego p será falsa y p → q será
verdad independientemente del valor de verdad de q, por lo tanto, no puede
concluirse nada sobre la veracidad de ¬q y, consecuentemente, (p −→ q) ∧
¬p no implica lógicamente ¬q de aquí que el razonamiento no sea válido.
El argumento ignora la obsesión compulsiva
del mayordomo por la limpieza, lo cual le lleva siempre a lavarse las manos
inmediatamente después de cometer un crimen.
INFERENCIA
Dado que no siempre es factible construir
una tabla de verdad para comprobar la validez de un razonamiento (cuando el número
de proposiciones es elevado, la tabla puede ser excesivamente larga),
utilizaremos únicamente el procedimiento de probar que se da la implicación lógica.
Regla de Inferencia
Diremos que la proposición Q se infiere de
las proposiciones P1, P2, . . ., Pn si Q es verdad cuando todas las Pis, i = 1,
2, . . ., n lo sean, es decir, cuando P1 ∧ P2 ∧
· · · ∧ Pn =⇒ Q.
Obsérvese que esto es lo mismo que decir que
el razonamiento P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧
Pn → Q sea válido. La escribiremos en la forma siguiente:
P1
P2
.
.
.
Pn
--------
∴
Q
El símbolo ∴ se lee “por lo
tanto”. Cada regla de inferencia tendrá su origen en una implicación lógica.
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