4.5.Funciones cuadráticas

Función cuadrática

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax 2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

EJEMPLOS: 

EJEMPLO 1:
Tenemos la ecuación:

y = x2 – 4x + 3.

EJEMPLO 2:
Tenemos la ecuación:
 y = x2 –2x + 3





EJEMPLO 3

Tenemos la ecuación:  y = x2 -4x + 4

EJEMPLO 4

Tenemos la ecuación:  y = - x2 + 2x + 3

EJEMPLO 5

Calcular la función, la tabla y el gráfico para la ecuación 4x2 + 3x –5 = 6

Comenzamos por hacer que el resultado de la ecuación sea igual a cero:

Restamos 6 en ambos lados: 4x2 + 3x –5 –6 = 6 –6

Obtenemos 4x2 + 3x –11 = 0

Resolvemos:

4.4.Funciones lineales

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y

EJEMPLOS 

EJEMPLO 1

  y = 2x
Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

       Para x = - 2, y = 2(-2) = -4  quedando la pareja (-2 , -4)

       Para x =  1,  y = 2(1)  =  2   quedando la pareja (1 , 2)

X	y = 2x
-2	-4
-1	-2
0	0
1	2
2	4

EJEMPLO 2

  y = - 3x + 4
Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

       Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 =  7  quedando la pareja (-1 , 7)

       Para x =  2,  y = -3(2) + 4 = -2   quedando la pareja (2 , -2)

X	y = - 3x + 4
-1	7
0	4
1	1
2	-2
3	-5

EJEMPLO 3

F(x) = 2x - 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.

EJEMPLO 4

EJEMPLO 5

Tenemos la siguiente ecuación:

y = 5m + 3

Al convertirla en una función, obtenemos:

f(x) = 5x + 3

Asignaremos a x valores de 1 al 8, y haremos la gráfica:

4.3.Tipos de funciones

Función constante

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Función polinómica

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

Función racional

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

4.2.Representación gráfica de funciones

En matemáticas, la gráfica de una función es un tipo de representación gráfica que permite conocer intuitivamente el comportamiento de dicha función. Más formalmente dada una función:

el gráfico es el conjunto de todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen.

                                                  EJEMPLOS

1y = 2

2y = −2x − 1

x	y = −2x − 1
0	−1
1	−3

3y = −x² + 4x − 3

4y = x² + 2x + 1

5x = 0

4.1.Definición, dominio y rango

Se llama función real de variable real  a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

Las relaciones y las funciones describen la interacción entre variables que están ligadas. Estas relaciones incluyen valores independientes y entradas, que son las variables que pueden ser manipuladas por las circunstancias. También incluyen valores dependientes y salidas, que son las variables determinadas por los valores independientes. Existe otro par de componentes que debemos considerar cuando hablamos de relaciones, se llaman dominio y rango.

El dominio de una función o relación es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una relación puede tener. Es la colección de todas las entradas posibles.

El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Es la colección de todas las salidas posibles.

de todos los valores que f toma.

EJEMPLOS:

Ejemplo 1:

Considere la función mostrada en el diagrama.

Aquí, el dominio es el conjunto { A , B , C , E }. D no está en el dominio, ya que la función no está definida para D .

El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2.

Ejemplo 2:

El dominio de la función

f ( x ) = 1/ x

es todos los números reales excepto el cero (ya que en x = 0, la función no está definida: la división entre cero no está permitida!).

El rango también es todos los números reales excepto el cero. Puede ver que hay algún punto en la curva para cada valor de y excepto para y = 0.

Ejemplo 3:

La notación siguiente muestra que el dominio de la función está restringido al intervalo  

(–1, 1).

f ( x ) = x 2 ,     –1  x  1

La gráfica de esta función es como se muestra. Dese cuenta de los círculos abiertos, que muestran que la función no está definida en x= –1 y x = 1. Los valores del rango de y desde 0 hasta el 1 (incluyendo el 0, pero no incluyendo el 1). Así el rango de la función es

0  y < 1.

Ejemplo 4

Dominio

Puesto que se trata de una función polinómica (no hay ningún punto problemático en la definición de la función, como dividir por 0), el dominio es todos los reales:

Dom(f)=R

Recorrido

Al ser un polinomio de primer grado, el recorrido es todos los reales:

Im(f)=R

Ejemplo 5

 Aquí hay una serie de figuras, cada una de ellas formada por cuadrados.

Podemos crear una función a partir de éstas usando el número de la figura como la entrada, y el número de cuadros que la conforman como la salida.

Una entrada de 1 tiene una salida de 1, ya que la figura 1 tiene sólo un cuadrado. Una entrada de 2 tiene una salida de 5, ya que la figura 2 contiene 5 cuadrados. Una entrada de 3, produce una salida de 9, ya que la figura 3 está formada de 9 cuadros. El dominio de ésta función se obtiene contando el número de entradas 1, 2, 3 que identifican cada una de las figuras usadas. Las entradas de ésta función son valores discretos, o valores que cambian en incrementos y no continuamente como la función del lanzamiento de la pelota. Sólo hay 3 figuras y por lo tanto las únicas posibles entradas son 1, 2, y 3. Entonces, el dominio de ésta función es 1, 2, 3. Podemos agrupar ésta lista de valores dentro de corchetes para indicar que forman un conjunto.

Dominio: {1, 2, 3}

El rango es el número de cuadros en cada figura. Las figuras tienen sólo 1, 5, o 9 cuadros, y ése es el rango. No hay ninguna figura que tenga 2 o 3.5 o cualquier otro número de cuadros. Como el dominio, el rango esta hecho de un conjunto de valores discretos.

Rango: {1, 5, 9}

Hemos limitado la entrada y la salida a 3 cada una porque sólo nos proporcionaron 3 figuras. ¿Cómo sería la notación del dominio y del rango si nos hubieran dicho que el patrón continuaría indefinidamente? ¡Fácil! Sólo añadimos tres puntos al final del conjunto de valores, para indicar que la secuencia continúa, así:

Dominio: {1, 2, 3, …}

Rango: {1, 5, 9, …}

3.8.Inecuaciones

Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

      - no es igual

 <    - menor que

 >    - mayor que 

     - menor o igual que 

     - mayor o igual que 

Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. 

EJEMPLO 1 

                x + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor) 

Ej.  3 < 4,       4 > 3 

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. 

EJEMPLO 2

                        1 < 6 

                1 + 5 < 6 + 5

¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta. 

EJEMPLO 3

                    2 < 6 

                2 + -9 < 6 + -9

Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo. 

EJEMPLO 4 CON RESTA 

                7 > 4 

            7 - 3 > 4 - 3

La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo. 

EJEMPLO 5

Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:

            2 < 8 

        2 - (-3) < 8 - (-3)     Restar un número es igual que sumar su opuesto.

        2 + 3    <  8 + 3

                5   < 11

La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados.

  

3.7.Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). 

EJEMPLOS:

1. ¿ Es 6 una solución para la ecuación      3x - 1 = 2x +5?
           3x -1   = 2x + 5
          3(6)-1  = 2(6) + 5    <Se sustituyó el x por el 6>
          18 - 1  = 12 + 5       <Se resuelve en ambos lados>
                17 = 17


 2. ¿Es 3 la solución de la ecuación             3x + 1 = 2x + 3 ?
          3x + 1    = 2x + 3
          3(3) + 1 = 2(3) + 3
          9 + 1     = 6 + 3
                  10 = 9                              < 3 no es la solución >
 
3.        x - 3  = 9 
           x + -3 = 9
     x + -3 +3 = 9 + 3              <añadir 3 elimina la resta y
            x + 0 = 12                     mueve todo excepto la variable x
              x = 12                            del lado izquierdo>

Recuerda que restar un número es igual que sumar su opuesto:
            6 - 7 = 6 + -7
            x - 3 = x + -3

        
4.          x - 6 = 2
            x + -6 = 2
      x  + -6 + 6 = 2 + 6
             x + 0 = 8
                 x = 8
 

5.            4x = 16
               4x = 16             <Utilizar la regla de la mult. para dividir
                  4      4                 ambos por 4>
                  x = 4

4. x   = 5
     2
            
(2) x = 5(2)            <Multiplica ambos lados por dos>
      2

(2) x = 5(2)             <al multiplicar el lado de la x se elimina el 2
   2                           con el 2 y queda la x sola>

     
     x = 10 

3.6.Valor absoluto

En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo.

EJEMPLO 1

3 es el valor absoluto de +3 y de -3.

El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente. Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o expresión dentro de barras verticales, así:

|20|

|x|

|4n − 9|

Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo. 

EJEMPLO 2

El valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5.

EJEMPLO 3 

El valor absoluto de 8 es 8. El valor absoluto de -8 es también 8.

EJEMPLO 4

El valor absoluto de 2 es 2. El valor absoluto de -2 es tambien 2.

EJEMPLO 5

El valor absoluto de 15 es 15. El valor absoluto de -15 es tambien 15